集合专题：集合中参数问题的5种常见考法-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

集合专题：集合中参数问题的5种常见考法 一、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 二、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 由集合间关系求解参数的三部曲 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集;第二步：看集合中是否含有参数，若， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[ 三、根据集合运算的结果确定参数的取值范围 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来 方法二：（1）化简所给集合； （2）用数轴表示所给集合； （3）根据集合端点间关系列出不等式（组）； （4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集。 题型一 根据元素与集合的关系求参数 【例1】已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（ ） A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可 【答案】B 【解析】∵2∈A，∴m＝2 或 m2﹣3m+2＝2． 当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去； 当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去． 综上可知，m＝3．故选：B． 【变式1-1】已知，则实数______． 【答案】，或 【解析】因为， （1），解得或，当时，与集合的互异性矛盾，舍去； （2），解得或； （3），解得，与集合的互异性矛盾，舍去； 综上可知，实数a的取值可以为或或. 【变式1-2】设集合，已知且，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】当时，可得或， 若时，则，不合题意； 若时，则，符合题意； 当，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意. 综上所述：. 【变式1-3】已知集合，若，则实数___________. 【答案】 【解析】由，， 若，解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不满足元素的互异性，故不符合题意； 所以实数. 故答案为：. 题型二 根据元素个数求参数 【例2】若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】由可得， 由可得， 又不等式组有且仅有两个整数解， ∴ ， ∴ ， ∴ 实数的取值范围是. 【变式2-1】（多选）已知集合至多有一个元素，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】集合至多有一个元素， 即方程至多一个解， 时，解为，符合； 时，由得：， 结合选项可知BCD符合，故选：BCD 【变式2-2】已知集合． （1）若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值； （2）若集合A中含有两个元素，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或；（2）且． 【解析】（1）当时，，符合题意； 当时，，得． 综上，或． （2）集合A中含有两个元素， 即关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且，解得且， 所以实数a的取值范围为且． 【变式2-3】设数集由实数构成，且满足：若（且），则. （1）若，试证明中还有另外两个元素； （2）集合是否为双元素集合，并说明理由； （3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）. 【解析】（1）证明：若x∈A，则 又∵2∈A，∴ ∵-1∈A，∴ ∴中另外两个元素为，； （2），，，且，， ，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合； （3）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则． ∴x∈A，，， ，，， ∴集合A中至少有3个元素，所有元素的积为：1， ∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为， 且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1， ∴， ∵，∴2∈A，∴，∴∈A， 设m＝a，同理得∈A，∈A， ∵A中元素个数不超过8个，所有元素的和为， ∴、3、， 【变式2-4】已知集合，其中为常数，且． （1）若中至少有一个元素，求的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），由，解得，满足题意，因此． 时，中至少有一个元素，，解得，． 综上可得：的取值范围是． （2），由，解得，满足题意，因此． 时，中至多有一个元素，，解得． 综上可得：的取值范围是