第05讲 导数研究函数单调性5种题型总结-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结 【考点分析】 考点一：含参数单调性讨论 ①先求函数定义域； ②求导，化简，通分，分解因式； ③系数有未知数，先考虑系数的情况；再考虑情况，求出的根，判断根与定义域，及根的大小关系，穿针引线，判断导函数正负，进而判断单调性； ④若不能分解因式，若分子为二次函数则考虑讨论判别式，若不是二次函数可以考虑二次求导 【题型目录】 题型一：导函数为一次函数型 题型二：导函数为准一次函数型 题型三：导函数为二次可分解因式型 题型四：导函数为二次不可因式分解型 题型五：导函数为准二次函数型 【典型例题】 题型一：导函数为一次函数型 【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数. （1）讨论函数的单调性； 【答案】（1）当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减； 【分析】（1）对函数求导，讨论和两种情况，即可得出函数的单调性； 【详解】（1）由题知函数的定义域为， ①当时，，此时函数在上单调递； ②当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增；在上单调递减； 综上，当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减； 【例2】（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数（其中a为参数）． (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对分类求得函数的单调区间； 【详解】（1），， 当时，，在单调递增， 当时，令，得， 时，，单调递减， 时，单调递增； 综上：时，在上递增，无减区间， 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【例3】（2022·江西·二模（文））己知函数，讨论的单调性。 【解析】 ， ①当时，恒成立，在上单调递增 ②当时，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 【例4】（2022·广东·模拟预测）已知函数，讨论函数的单调性。 【解析】 ∵， （Ⅰ）当时，在上单调递增， （Ⅱ）当时，令，则， 令，则， ∴在上单调递增， 上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 【题型专练】 1.已知函数，讨论函数在区间内的单调性； 【答案】见解析 【解析】 【分析】 对进行求导，然后根据的取值范围分类讨论的单调性 ， （Ⅰ）当，即时， ，在单调递减 （Ⅱ）当，即时， ，在单调递增 （Ⅲ）当，即时，当时， ，单调递增； 当时，，单调递减 综上所述，（Ⅰ）当时，在单调递减 （Ⅱ）当时，在单调递增 （Ⅲ）当时，在单调递增，在单调递减 2.已知函数，其中，讨论的单调性； 【答案】当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【分析】 ，讨论或判断的单调性； 【解析】， 当时，当恒成立，在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 3.（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】 （1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【解析】 （1）解：由知定义域为，且①时，在上，故在上单调递增；②时，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减. 题型二：导函数为准一次函数型 【例1】（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数（为自然对数的底数）． 求函数的单调区间； 【解析】 函数 的定义域为 ， ， ①当时，对任意的 ， ， 此时函数的减区间为，无增区间； ②当时，由 可得，由 可得， 此时函数的单调递增区间为，递减区间为； 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的单调递增区间为，递减区间为； 【例2】（2022·河南安阳·高二期末（文））已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)见解析 【分析】 （1）对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间， (1)，． 当时，，单调递增． 当时，令，得， 令，得， ∴在上单调递减，在上单调递增． 【例3】（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数. 讨论的单调性； 【解析】 函数的定义域为，． 令，解得， 则有当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增． 【题型专练】 1.设函数，求的单调区间． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 利用导数判断单调性，分成和两种情况讨论. 【详解】 的定义域为，． 若，则，所以在上单调递增． 若，则当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 2.已知函数.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 对求导，结合函数定义域