2.3 圆与圆的位置关系-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

2.3 圆与圆的位置关系 一、圆与圆的位置关系及其判定 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 二、两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 三、两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 四、利用圆系方程求圆的方程 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 题型一 判断两个圆的位置关系 【例1】圆与圆的位置关系为（ ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】由与圆， 可得圆心，半径， 则，且， 所以，所以两圆相交，故选：A. 【变式1-1】已知圆，圆， 则两圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内含 D．相切 【答案】B 【解析】由题设，：，：， ∴，半径；，半径； ∴，即两圆相交，故选：B 【变式1-2】圆与圆的位置关系为（ ） A．外切 B．内切 C．相交 D．相离 【答案】A 【解析】由， 该圆的圆心为，半径为. 圆的圆心为，半径为， 因为两圆的圆心距为， 两圆的半径和为， 所以两圆的半径和等于两圆的圆心距，因此两圆相外切，故选：A 【变式1-3】（多选）已知，圆，，则（ ） A．当时，两圆相交 B．两圆可能外离 C．两圆可能内含 D．圆可能平分圆的周长 【答案】AB 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 所以，， 当时，，所以两圆相交，故A正确； 因为，所以两圆可能外离，不能内含，故B正确C错误； 圆的一般方程为， 所以两圆的公共弦所在直线方程为， 若圆平分圆的周长，则直线过点， 所以，此方程无解， 所以圆不能平分圆的周长，故D错误；故选：AB 【变式1-4】求证：圆与圆不可能相外切． 【答案】证明见解析 【解析】圆，即，圆心，半径； 圆，即，圆心，半径， 所以，， 则，所以，即， 所以圆与圆相离，即不可能相外切. 题型二 根据圆与圆的位置关系求参数 【例2】若圆和圆有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是_______. 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径， 由，得，所以圆心为，半径， 因为圆和圆有两个不同的公共点， 所以两圆相交， 因为圆恒过原点， 所以圆的直径大于2， 所以，解得或， 所以实数m的取值范围是， 故答案为： 【变式2-1】已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是（ ） A． B．2 C．或2 D．1或 【答案】C 【解析】由题可知圆心，半径，圆心，半径， 因为圆与圆内切， 所以， 解得或．故选：C． 【变式2-2】（多选）圆与圆只有1个公共点，则r的值可以是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】BD 【解析】对圆，其圆心为，半径为；对圆，其圆心为，半径为，则， 因为圆与圆只有1个公共点， 故圆外切或内切，则或， 故可得或.故选：. 【变式2-3】设a为正实数，若圆与圆没有公共点，求a的取值范围． 【答案】 【解析】因为圆与圆没有公共点， 所以圆与圆相离或内含. 因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以当两圆位置关系为相离关系时，，，即； 当两圆位置关系为内含关系时，，，即． 综上，实数的取值范围是 【变式2-4】已知在圆：上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知圆与圆相交， 则，解得或.故选：C 【变式2-5】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的方程为，整理得：， 即圆是以为圆心，1为半径的圆； 又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，