第03讲 导数中八大切线问题题型总结-【高考备考题型讲义】备战2023年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

第3讲 导数中八大切线问题题型总结 【考点分析】 考点一：曲线在点处的切线方程 ①把切点的横坐标带入导函数，得 ②又因切点为，利用点斜式直接写出切线为 考点二：过一点的切线方程 ①设切点为，则斜率 ②利用切点和斜率写出切线方程为：， ③又因为切线方程过点，点入切线得然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目是在点处（为切点），还是过点的切线（不一定为切点） 【题型目录】 题型一：导数与切线斜率的关系 题型二：在点处切线（此类题目点即为切点） 题型三：过点的切线（此类题目点不一定为切点，需要设切点为） 题型四：已知切线求参数问题 题型五：切线的条数问题（判断切线条数以及由切线条数求范围） 题型六：公切线问题 题型七：切线平行、垂直、重合问题 题型八：与切线相关的最值问题 【典例例题】 题型一：导数与切线斜率的关系 【例1】（2022·全国·高三专题练习（文））函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解. 【详解】 如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率， 表示切线斜率， 又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率， 结合图象，可得，即. 故选：C. 【例2】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由导数的几何意义判断 【详解】 由图象可知在上单调递增，， 故，即 故选：B 【题型专练】 1.（2021·福建·泉州鲤城北大培文学校高三期中）（多选题）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义可得，记，，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出. 【详解】 由函数的图象可知函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以； 记，，作直线AB，则直线AB的斜率，由函数图象，可知， 即. 故选：AB 2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案. 【详解】由图知：，即. 故选：A 题型二：在点处切线（此类题目点即为切点） 【例1】【2019年新课标3卷理科】已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得． 【详解】 详解： ， 将代入得，故选D． 【点睛】 本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 【例2】（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 求导数得出，结合奇函数定义得函数解析式，然后计算即可． 【详解】 是奇函数， 恒成立，所以， ，， 所以，，即， ． 故选：A． 【例3】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（理））曲线在处的切线方程为（       ） A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0 【答案】B 【解析】 【分析】 将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可. 【详解】 解：因为，所以，所以． 又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为． 故选：B. 【例4】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求得，根据指数函数的性质，得到，即切线的斜率，进而得到，即可求解. 【详解】 由题意，函数，可得， 因为，所以，即切线的斜率， 设切线的倾斜角为，则 又因为，所以或， 即切线的倾斜角的范围为. 故选：B. 【例5】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））曲线在点处的切线方程为，则的值为（       ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】 【分析】 依据题意列出关于的方程组，即可求得的值 【详解】 由切点在曲线上，得①； 由切点在切线上，得②； 对曲线求导得，∴，即③， 联立①②③，解之得 故选：A. 【例6】（2022·江西·丰城九中高二期末（理））已知函数图像关于原点对称，则在处的切线方程为（       ） A． B．