第15讲 抛物线-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

第15讲 抛物线 【考点梳理】 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 【解题方法和技巧】 1.求抛物线的标准方程的方法： ①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可． ②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． （2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径． 2.确定及应用抛物线性质的技巧： ①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． ②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用． 【考点剖析】 【考点1】抛物线的定义 一、单选题 1．（2021·上海·格致中学三模）已知抛物线、的焦点都为，的准线方程为，的准线方程为，与相交于M、N两点，则直线MN的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可以判定M,N到直线的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN的倾斜角为60°且经过原点. 【详解】如图所示，根据抛物线的定义，可得M，N到直线的距离和到y轴的距离都等于到焦点的距离，故M,N到直线的距离和到y轴的距离相等，结合图形可知，直线MN是直线与y轴的角平分线上的点，由于直线是过原点且倾斜角为30°的直线，由图可知，直线MN的倾斜角为60°，且经过坐标原点，故直线MN的方程为, 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的定义，关键是利用抛物线的定义得到M,N直线的距离和到y轴的距离相等. 二、填空题 2．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）若点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则__________. 【答案】8 【分析】计算，设，根据向量运算得到，再利用抛物线定义得到答案. 【详解】是抛物线的焦点，则，设， 则， 故， . 故答案为：8 3．（2022·上海·高三专题练习）若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2，则M到其顶点的距离等于__________. 【答案】 【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得的值，代入抛物线方程求得值，即可得到所求点的坐标，从而求得其到原点的距离． 【详解】解：抛物线方程为，焦点为，准线为， 抛物线上一点到焦点的距离等于2，根据抛物线定义可知到准线的距离等于2， 即，解之得，代入抛物线方程求得， 点坐标为：，故其到顶点的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决，属于基础题． 4．（2020·上海·高三专题练习）已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则当时，的最小值是______． 【答案】 【分析】首先根据抛物线的定义转化，再根据数形结合分析的最小值. 【详解】抛物线的焦点是，且当时，点在抛物线外. 根据抛物线的定义可知 ， ， 当三点共线时，等号成立， 的最小值是， ， 的最小值是. 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线内距离的最值问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是根据抛物线的定义转化.属于基础题. 三、解答题 5．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知动点P到定点