笔记&必记 第二章 一元二次函数、方程和不等式-【志鸿优化训练】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册(人教A版2019)

☑笔记&必记 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 1.比较两个实数大小的方法 [名>l台a>b(a∈R,>0) a-b>0台a>b(a,b∈R) (1)作差法a-b=0台a=b(a,b∈R) (2)作商法 a b =1台a=b(a∈R,b>0) a-b<0台a<b(a,b∈R) &<1=a<b(a∈R,b>0) b 2.不等式的基本性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>bb<a 台 传递性 a>b,b>c→a>c → 可加性 a>b台a+c>b+c 台 a>b》 →ac>bc 可乘性 c>0 ab 注意c的符号 →ac<bc c<0 ab 同向可加性 →a+c>b+d → cd a>b>0 同向同正可乘性 →ac>bd>0 → c>d>0 可乘方性 a>b>0→a">b(n∈N,n≥1) a,b同为正数 可开方性 a>b>0→a>5(n∈N,n≥2) 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a>b,ab>0- a<6.②a<0<bs1<1 11 =1.③a>bo,o<c<→7.④ c .④0<a<x<b或a<x< (2)有关分数的性质 若a>b>0,m>0,则：① <0+”,b>6-m（h-m>0.②2>士m,2<0二m(b-m>0. aa+mia-a-m bb+m’bb-m 【例2-1-1】设a,bER,若p:a<,g:名<。<0.则b是g的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解标】当a<6时，<日<0不一定成立：当 方<<0时，a<b<0.综上可得，p是g的必要不充分条 件，故选B. 6 ·数学 第二章一元二次函数、方程和不等式 【方法指导】与充要条件相结合的问题，用不等式的性质分别判断p→q和q⇒p是否正确，要注意特殊 值法的应用． 【例2─1-2已知a，bx，y∈(0，+∞)，且1>=x>y，求证：+a>y+b 【证明】+a-￥b-乙+a)(x±b)∵>+且a，b∈(0，+∞)。∴b>a>0.bx-a 又x>y>0，∴m>ay>0∴2“￥6>0∴┌a>+b 【方法指导】应用不等式的性质可以证明一些简单不等式，关键是依据不等式的性质进行变形。不等式 的简单证明，每一步推理都要有明确的依据，以基本性质为基础． 2.2基本不等式 1.基本不等式：\sqrt{ab}≤“2” （1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立。 2.几个重要的不等式 （1)a^2+b≥2ab，a，b∈R； (2)^a+“≥2，ab>0 (3)ab≤(“2′)a，b∈R；「当且仅当a=b时，等号成立 （4)“+^z>(“+”)a，b∈R] 3.利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： （1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值是2\sqrt{E}。(简记：积定和最小） (2)如果和x+y是定值S，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值是一（简记：和定积最大） 4.基本不等式在实际问题中的应用 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： （1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题转化 成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出 答案． 【例2-2—11当x>0时，f(x)=2+1的最大值为_ 【答案】1 (解析：>0：RO=若-号1当且设当x与即x=1取等号 【方法指导】用基本不等式求最大(小)值，三个条件(即“一正”“二定”“三相等”必须同时具备才能应 用。当不能直接运用基本不等式时，需要对其进行一定的变形，如变常数，变系数、拆项等，当等号不成立时， 可考虑观察函数的图象，进而求最值。 数学·7 ☑笔记&必记 【例2一2一2】已知a>0,b>0,且2a十b=ab,则a十2b的最小值为() A.5+22 B.8√2 C.5 D.9 【答案】D 【解桥】：a>0,6>0,且2a+6=a6,号+日=1.e十2b=(u+26)(号+)=积+边+5≥ 2V会·西+5=9当且收当8=6时等号成之 【方法指导】“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题的关键；若两次连用基本不等式，要 注意取等号的条件的一致性，否则可能会出错.求定值问题要注意创设利用均值不等式的形式，也就是常说 的“凑形式” 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 判别式△=2-4ac △>0 △=0 △<0 二次函数y=ax2+bx+((a>0) 的图象 OxI=X2 一元二次方程ax2十bx十c=0 有两个相异实根x1,x2 有两个相等实根x1