3.1.2函数的表示法（第1课时）导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章函数的概念与性质 3.1.2函数的表示法（第1课时) 学习指导 课标要求 核心素养 重难分析 1、理解函数的三 种表示法 重点 函数的三种表示法 2、理解分段函数 体会数学抽象和逻辑推理的思 想方法 难点 函数的三种表示法 新知识导入 前面我们学习了函数的概念，那么函数用什么方法表示呢？初中我们已经学习过函数的三 种表示法：解析法、列表法和图象法.这节课进一步学习一下吧. 知识清单 知识点一：函数的表示法 1.函数的表示法 (1)解析法：用 表示两个变量之间的对应关系 (2)列表法：列出 来表示两个变量之间的对应关系， (3)图象法：用 表示两个变量之间的对应关系。 知识点二：分段函数 2.分段函数：已知函数y=f(x),xeA,如果 在不同的取值范围内，函数有着不 同的 则称这样的函数为分段函数 例题讲解 例1某种笔记本的单价是5元，买&∈{1,2,3,4,5)个笔记本需要y元.试用函数 的三种表示法表示函数y=f8), 例2.画出函数y=x-2的图象。 例3给定函数f8=x+1,g8=(&+1),xER, (1)在同一直角坐标系中画出函数f8),g8的图象； (2)Hx∈R,用M8表示f8),g8中的最大者，记为M☒=mxf☒，g}.例如， 当x=2时，M2=maxf(2,g(2=max3,9=9.请分别用图象法和解析法表示函数M8 课堂练习 1.我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一 个图象与这件事吻合得最好？() ◆离开家的距离 ◆离开家的距离 ◆离开家的距离 ◆离开家的距离 A B D 时间O 时间O 时间 时间 2.函数f(x)=x-1+1的部分图象大致是() 3.画出函数y=x-2的图象 4.如图，把直截面半径为25cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为 x(单位：cm),面积为y(单位：cm),把y表示为x的函数. 25 cm 5.画出定义域为{x-3飞x≤8，且x≠5}，值域为{y-1且y≤2，y≠0}的一个函数的图象 (①)将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？ (2)如果平面直角坐标系中点P(x,y)的坐标满足-3≤x≤8，-1≤y≤2，那么其中哪些点不能在图象上？ 6.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2.当x∈(-2.5,3]时，写出函 数f(x)的解析式，并画出函数的图象 课后练习 1.已知函数f(x)= 3x-1,x22, -x2+4x,x<2, 则f(f(1)的值为() A.7 B.3 C.9 D.8 2.观察下表： x -3 -2 -1 1 2 3 f(x) 5 1 -1 -3 3 g(x) 1 4 2 -2 -4 则f(f(-1)-g(3)=() A.-1 B.-3 C.3 D.5 3.函数f(x)=x+的图象是( ) B. 4.已知函数f(x-1)=x2-1,则f(x)=() A.x2 B.x2+2x C.x2-2x D.x2-2x+2 5.（多选)已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成，则() 1 4 A.f(f(I)=3 B.f(2)=f(0) C.f(x)=-x+1+2|x-1,x∈[0,4] D.3a>0,不等式f(x)≤a的解集为 6.已知函数f(x)= 2,xc-1,小若f》=2,则x的取值范国是 x,x[-1,1], 7.已知函数f(x)= x2,x≤0， 4-2x,x>0. (1)画出函数f(x)的图象； (2)当f(x)≥2时，求实数x的取值范围. 答案以及解析 知识清单 1.解析式 表格 图象 2.自变量x 对应关系 例题讲解 例1 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5， 用解析法可将函数y=fx)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5 20 用列表法可将函数y=f8)表示为 15 10 笔记本数x 2 3 钱数y 5 10 15 012345 20 25 用图象法可将函数y=f8)表示为如图. 例2. 解析：解法1：由绝对值的概念，知y= x-2,x22, 2-x,x<2, 所以函数y=x-2的图象如图所示 21912分46 解法2：先画出y=x-2的图象，然后把图象中位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上面， 其他不变， 例3 解：(1)在同一直角坐标系中画出函数f8),g8)的图象如图. 8(x)=(x+1)2 5 f(x)=x+1 4 3 2 -5-4-3-2∠10 12345 -2 (2)由图中函数取值的情况，结合函数M(8)的定义，可得函数M(8)的图象如图. M(x) 2 -5-4-3-2-10 12345 1 -2 由(x+1)2=x+1,得xx+)=0. 解得x=-1,或x=0, (x+1)2,x-1, 结合图象，得出函数M(x)的解析式为M(x)=x+1,-1<x0, (x+1)2,x>0. 课堂练习 1.答案：D 解析：中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校 ,选项D吻合最好. 故选：D. 2.答案：A 解析：因为 $$f \left( x \right) = | x - 1 | + 1 = \left\{ \begin{array}{l} x ， x \ge 1 \\ 2 - x ， x < 1 \end{array} \right. ， 且$$ 且f(1)=-1+1=1， f(1)=|1-1|+1=1， f(0)=|0-1|+1=2， 故符合题意的只有A. 故选：A 3.答案：见解析 解析：由绝对值的概念，知 $$y = \left\{ \begin{array}{l} x - 2 ， x \ge 2 ， \\ 2 - x ， x < 2 ， \end{array} \right.$$ 所以函数 y=|x-2 |的图象如图所示. 4 3 2 1 -2- 1 1 2 2 3 4 4 5 6 4.答案： $$y = x \sqrt { 2 5 0 0 - x ^ { 2 } } \left( 0 < x < 5 0 \right)$$ 解析：依题意可得圆的直径为50cm ， 则该矩形的另一边长为 $$\sqrt { 5 0 ^ { 2 } - x ^ { 2 } } ，$$ ，其中 0<x<50， 故矩形的面积 $$y = x \sqrt { 5 0 ^ { 2 } - x ^ { 2 } } = x \sqrt { 2 5 0 0 - x ^ { 2 } } ，$$ 即将y表示为 x 的函数为 $$y = x \sqrt { 2 5 0 0 - x ^ { 2 } } \left( 0 < x < 5 0 \right) .$$ 5.解析：满足题中条件的一个函数的图象如图所示 1 -3 3- -2 2- -1 1Q 1 2 3 3 4 4 5 6 7 8 x (1)略. (2)横坐标等于5或纵坐标等于0的点都不能在图象上. -3,-2.5<x<-2, -2,-2≤x<-1, -1,-1≤x<0, 6.解析：f(x)=0,0≤x<1, 1,1≤x<2, 2,2≤x<3, 3,x=3. 函数图象如图所示 2 ◆0 3-2-023x 0上2 00-3 课后练习 1.答案：D 解析：f)=-1+4=3,f(f1)=f(3)=3×3-1=8. 2.答案：D 解析：由题表得f(-1)=-1,g(3)=-4,f(3)=5, .f(f(-1)-g(3)=f(-1-(-4)=f(3)=5, 故选D. 3.答案：C 解析：函数f=x+=T+l>0作出函数图象，如图，故选C xx-1,x<0, 0 4.答案：B 解析：解法一：f(x-1)=x2-1=(x-1)2+2(x-1), ∴.f(x)=x2+2x 解法二：令t=x-1,则x=t+1, .f(x-1)=x2-1, ∴.f(t)=(t+1)2-1=t2+2t, 则f(x)的解析式是f(x)=x2+2x. 5.答案：AC 解析：由题图得，f(x)= -3x+3.0≤x≤1f0=0,f0)=3,f0)=f0)=3,故A正 x-1,1<x≤4， 确；f(2)=2-1=1≠f(0),故B错误；对于C,当0≤x≤1时，f(x)=-x+1-2x+2=-3x+3, 当1<x≤4时，f(x)=-x+1+2x-2=x-1,故C正确；由题图可知，若不等式f(x)≤a的解集 「17 为2m 则-3x号+3=网-1，解得m-多故D错误 故选AC. 6.答案：{2}U[-1,1] 解析：设f(x)=t,则f)=2,当t∈[-1，山时，满足f)=2,此时-1≤f(x)≤1，无解；当 t=2时，满足f()=2,此时f(x)=2,即-1≤x≤1或x=2.故答案为{2}U[-1,1]. 7.答案：（1)图见解析 (2)(-00,-√2]U(0,1] 解析：(1)函数f(x)的图象如图所示 4 2 5-4-3-2-1012式345 -2 (2)当x≤0时，由x2=2得x=-V2(x=V2舍去)， 当x>0时，由4-2x=2得x=1, 结合图象知，当f(x)≥2时，x≤-√2或0<x≤1， 所以实数x的取值范围为(-oo,-√2]U(0,1].