第二章 一元二次函数、方程和不等式单元卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2.已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 3.在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（   ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 4.若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.已知点是函数在第一象限内的图象上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作、两种类型的灯笼，其中型灯笼每个需要0.5米彩带，型灯笼每个需要1米彩带．活动规定：两种灯笼数量的乘积越大，评分越高．已知某同学用60米长的彩带制作型灯笼个，型灯笼个．若要使该同学的得分最高，则实数，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 7.若函数在处取最小值，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 8.若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数，若非空集合，且，则下列说法中正确的是（   ） A．的取值与有关 B．为定值 C． D． 10.若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（  ） A． B． C． D． 11.下列说法正确的有（  ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．已知x>0，则x＋的最小值为8 C．若，则“”的充要条件是“” D．若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则三角形面积取得最大值时的斜边边长为__________cm． 13.为积极响应国家绿色可持续发展的战略方针，某公司花费8万元引进了一批污水处理设备，由于设备的长期使用会导致设备的寿命降低，为延长设备的使用年限，公司决定每年对设备进行维修．若维修年，，则每年的维修费用为万元．那么从引进该污水处理设备起算，要使此批设备年平均费用最少，应使用该批设备______年． 14.单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为______m. 四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）设，试用两种方法求二次函数的最大值． 甲说：这是一元二次函数，开口向下，对称轴处取最大值，所以最大值为16． 乙说：根据基本不等式，当且仅当时，取得最大值，所以最大值为16． 请根据甲、乙的两种方法求二次函数的最大值． 16.（15分）夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）． (1)求的最大值; (2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值． 17.（15分）教材中曾有例题证明“命题①在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；命题②在面积为常数的所有矩形中，正方形的周长最小．”于是我们联想到数学史上著名的等周问题：“在所有给定周长的平面曲线中，必存在一条封闭曲线，使其所包围的面积最大．”现将一边依墙脚线，围成△ABC或围成四边形．请完成以下问题： (1)如图1，围成△ABC，两边之和，且，求△ABC的面积的最大值； (2)如图2，围成平行四边形，且，求平行四边形的面积的最大值． 18.（17分）设二次函数，是常数，． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由． (2)若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． (3)若，点在该二次函数图象上，求证：． 19.（17分）“必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”． (1)一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”； (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式； (3)已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，当时，函数有最小值，求m的值． 第二章 一元二次函数、方程和不等式参考答案 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1.C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.A 7.B 8.C 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BD 10. BC 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.6（-1） 13.6 14.97.5 四、解答题：本题共5分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）答案见解析． 【分析】法一：利用甲说的方法，根据开口向下，到对称轴处取到最大值；法二：利用基本不等式，根据“和定，积最大”来解决． 【详解】法一： 因为，， 所以当时，． 法二： 因为，， 当且仅当， 即当时，等号成立， 所以． 16.（15分）(1)2450元 (2)元/件 【分析】（1）表达出，配方后得到最大值； （2）表达出A与的总利润为，从而得到不等式，求出A售价的最小值. 【详解】（1）由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元）， 所以 ， 当时，取到最大值，最大值为2450元． （2）设A与的总利润为（单位：元）， 则， 得，得． 故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件． 17.（15分）(1)18 (2)18 【分析】转化为二次函数的值域问题解决. 【详解】（1）设，则，， 则（当时取“”）. 所以的最大值为18. （2）设，则，. 则（当且时取“”）. 所以的最大值为18. 18.（17分）(1)二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，理由见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）令函数为0，利用判别式即可得出交点个数； （2）分析函数过哪两个点，利用待定系数法即可求解； （3）将点代入二次函数得出，结合已知不等式，即可证明不等式. 【详解】（1）由题意， 在二次函数，是常数，中， 当时，， ， 方程有两个不相等实数根或两个相等实根． 二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个. （2）由题意及（1）得， 在二次函数，是常数，中， 图象经过，，三个点中的其中两个点， 当时，， 抛物线不经过点， 把点，分别代入得： 解得 抛物线解析式为：. （3）由题意及（1）（2）证明如下： 在二次函数，是常数，中， 点在该二次函数图象上， ∴当时，①， ， ②， ①②相加得：， . 19.（17分）(1)“智勇点”为：，“忠诚点”为： (2)或 (3)或 【分析】（1）根据函数新定义求解即可； （2）由题设易得，，，进而求得的值，即可求解； （3）由题设易得，，进而得到二次函数解析式，再结合对称轴分类讨论求解即可. 【详解】（1）∵一次函数是一个“智勇忠诚函数”， ∴根据定义得：得，由得， ∴一次函数图象上的“智勇点”为：，“忠诚点”为：. （2）∵二次函数图象可以由二次函数平移得到， ∴， ∵二次函数的顶点就是一个“智勇点”，∴， ∴二次函数解析可变为， ∵二次函数图象经过一个“忠诚点”， ∴，∴， ∴P点坐标为， ∴将代入， 得，∴， ∴二次函数解析为或. （3）∵经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”， ∴直线l上的点横纵坐标相等， ∵二次函数（c，d为常数，c≠0）的顶点为M，与y轴的交点为N， ∴，N点坐标为原点，M，N为“智勇点”， ∴二次函数解析式可变为， 二次函数的图象经过“智勇点”M，N， ∴将代入， ∴，∴（舍去）， ∴二次函数解析式可变为，对称轴为直线， 当时，时，y取最小值， ∴，解得：， ∵，∴； 当时，在时，y取最小值， ∴，解得：， ∵，∴，∴. 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $$