2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征-2021-2022学年高中数学必修3【名师导航】同步Word教参(人教版)

2.2.2　用样本的数字特征估计总体的数字特征 学 习 目 标 核 心 素 养 1．会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．(重点) 2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．(重点) 3．会应用相关知识解决实际统计问题．(难点) 1．通过数字特征的计算，提升数学运算素养． 2．借助实际统计问题的应用，培养数学建模素养. 1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：一组数据中出现次数最多的数． (2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数． (3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数． 2．三种数字特征的比较 名称 优点 缺点 众数 ①体现了样本数据的最大集中点； ②容易计算 ①它只能表达样本数据中很少的一部分信息； ②无法客观地反映总体的特征 中位数 ①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响； ②容易计算，便于利用中间数据的信息 对极端值不敏感 平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 3.标准差、方差的概念与计算公式 (1)标准差： 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示， s＝. (2)方差： 标准差的平方s2叫做方差． s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数． 思考：在统计中，计算方差的目的是什么？ [提示]　方差与标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，其值越大，数据离散程度越大，当其值为0时，说明样本各数据相等，没有离散性． 1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　) A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 B　[标准差能反映一组数据的稳定程度．] 2．数据101,98,102,100,99的标准差为(　　) A.　　　　　　 B．0 C．1 D．2 A　[＝(101＋98＋102＋100＋99)＝100. ∴s＝]＝. 3．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a D　[将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，则中位数b＝15，众数c＝17.平均数a＝(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7.显然a<b<c.] 4．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是________分． 85　[由题意知，该校数学建模兴趣班的平均成绩是＝85(分)．] 众数、中位数、平均数 【例1】　某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表： 职务 董事长 副董 事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． [解]　(1)平均数是：＝1 500＋ ≈1 500＋591＝2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)新的平均数是＝1 500＋ ≈1 500＋1 788＝3 288(元)，新的中位数是1 500元，新的众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 对众数、中位数、平均数的几点说明 1如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值.在实际应用中，样本中位数和样本平均数可以使我们了解样本数据中的极端数据信息，帮助我们作出决策. 2众数、中位数