1.8 最小二乘估计-2021-2022学年高中数学必修3【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§8　最小二乘估计 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解最小二乘法的思想及意义．(重点) 2．会求线性回归方程并进行简单应用．(难点) 1.通过了解最小二乘法的思想及意义， 培养数学抽象素养． 2．通过求线性回归方程并进行简单的应用，提升数据分析素养. 1．最小二乘法 利用最小二乘法估计时，要先做出数据的散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合． 2．线性回归方程 用表示， 用表示， 由最小二乘法可以求得 b＝ ＝， a＝－b. 这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a、b是线性回归方程的系数． 思考：任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？ [提示]　用最小二乘法求回归方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的回归方程是无意义的． 1．变量y对x的回归方程的意义是(　　) A．表示y与x之间的函数关系 B．表示y与x之间的线性关系 C．反映y与x之间的真实关系 D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合 D　[线性回归直线方程最能代表观测值x、y之间的线性相关关系，反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合．] 2．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程y＝bx＋a必过(　　) x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 A.点(2,2)　　　　　 B．点(1.5,2) C．点(1,2) D．点(1.5,4) D　[回归方程必过样本点(，)，经计算得(1.5,4)．] 3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y＝a＋bx中，回归系数b(　　) A．不能小于0　　　　 B．不能大于0 C．不能等于0 D．只能小于0 C　[当b＝0时，不具有相关关系，b可以大于0，也可以小于0.] 4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为y＝0.72x－58.2，张明同学(20岁)身高178 cm，他的体重应该在________kg左右． 69．96　[用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，y＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．] 线性回归方程的应用 【例1】　某地区2013年至2019年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表： 年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯 收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，分析2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b＝，a＝－b. [解]　(1)因为＝＝4， ＝＝4.3， 设回归方程为y＝bt＋a，代入公式，经计算得 b＝＝＝， a＝－b＝4.3－×4＝2.3， 所以y关于t的回归方程为y＝0.5t＋2.3. (2)因为b＝＞0，所以2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长，预计到2020年，该地区农村居民家庭人均纯收入y＝0.5×8＋2.3＝6.3(千元)，所以预计到2020年，该地区农村居民家庭人均纯收入约6.3千元． 用线性回归方程估计总体的一般步骤 1．作出散点图，判断散点是否在一条直线附近． 2．如果散点在一条直线附近，用公式求出a，b，并写出线性回归方程(否则求出回归方程是没有意义的)． 3．根据线性回归方程对总体进行估计． 1．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量，得到数据(单位均为cm)如表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据： (xi－)(yi－)＝577.5， (xi－)2＝82.5；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5 cm，则估计案发嫌疑人的身高为________cm. 脚长x 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 身高y 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203 185.5　[回归方程的斜率b＝＝＝7，＝24.5，＝171.5，截距a＝－b＝0，即回归方程为y＝7x，当x＝26.5时，y＝185.5.] 最小二乘法 [探究问题] 1．一个好的线性关系与散点图中各