第二章 第六节 对数与对数函数（word教师用书）-2023高考数学（理科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教 全国版）

　 知识梳理 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝0； ②logaa＝1； ③alogaN＝N； ④logaan＝n(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R). (3)对数的换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0). 3．对数函数的定义、图象与性质 (1)定义：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)指数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时， y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时， y>0 在(0，＋∞)上 是增函数 在(0，＋∞)上 是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 学霸笔记 1．换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)； (3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0). 2．换底公式的推广：logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0). 4．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 进阶诊断 1．判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　×　) (3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(　×　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　) (5)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　√　) 2．(教材习题改编)函数f(x)＝ 的定义域是(　B　) A．(0，e)　　　　　　　　 B．(0，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) 解析：要使函数f(x)＝ 有意义， 则解得0<x≤e， 则函数f(x)的定义域为(0，e]. 3．(2021·新高考卷Ⅱ)若a＝log52，b＝log83，c＝，则(　C　) A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 解析：(方法一)a＝log52＜log5＝，b＝log83＞log8＝，故a＜c＜b. (方法二)a＝log52＜log42＝，b＝log83＞log93＝， 故a＜c＜b. 4．(忽视定义域的限制致误)已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是__(1，2)__． 解析：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0，∴u＝2－ax在[0，1]上是x的减函数， 由复合函数关系知y＝logau应为增函数，∴a＞1. ∵当x∈[0，1]时y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax是减函数， ∴当x＝1时，u＝2－ax取最小值，umin＝2－a＞0， ∴a＜2. 综上可知所求a的取值范围是(1，2). 考点1　对数运算　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2021·安徽合肥模拟)计算：2log24＋3log21－lg 3·log32－lg 5＝(　C　) A．2　　　　　 B．3　　　　　 C．4　　　　　 D．5 解析：原式＝4＋30－lg 3·－lg 5＝4＋1－lg 2－lg 5＝4. 2．(2021·甘肃兰州期中)设正数a，b满足2a＝5b＝m，且＋＝1，则m＝(　B　) A． B．10 C．20 D．100 解析：因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m， 因为a，b＞0，所以m＞1， 所以＋＝logm2＋logm5＝logm10＝1，∴m＝10. 3．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数