第二章 第一节 函数及其表示（word教师用书）-2023高考数学（理科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教 全国版）

　 知识梳理 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A，B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合 对应关系 f：A→B 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应 按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． 2．函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3．函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 4．相等函数：如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，则这两个函数相等．这是判断两函数相等的依据． 5．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 6．分段函数 若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以有公共元素． 学霸笔记 1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射． 2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． 3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题． 4．常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}． (5)y＝ax(a>0，且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tan x的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z} . 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数y＝1或y＝x0是同一个函数．(　×　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　×　) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f (x2)＝25.(　×　) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　√　) 2．函数f(x)＝(1－x)－＋(2x－1)0的定义域是(　B　) A．(－∞，1]　　　　　 B．(－∞，)∪(，1) C．(－∞，1) D．(，1) 解析：要使f(x)有意义，则解得x＜1，且x≠，∴f(x)的定义域为(－∞，)∪(，1). 3．(教材习题改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；值域是__[1，5]__；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是[1，2)∪(4，5]． 4．(定义域理解不清致误)已知函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x＋1)的定义域为__[－1，0]__． 解析：由于函数f(x)的定义域为[0，1]，即0≤x≤1， ∴f(x＋1)满足0≤x＋1≤1，－1≤x≤0，∴f(x＋1)的定义域是[－1，0]. 5．(忽视中间变量的范围致误)已知f()＝x－1，则f(x)＝x2－1(x≥0)． 解析：令t＝，则t≥0，x＝t2， 所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0). 考点1　求函数的定义域　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2021·安徽巢湖模拟)函数y＝＋log2(tan x－1)的定义域为__(，1]__． 解析：要使函数y＝＋log2(tan x－1)有意义，则1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z).∴－1≤x≤1且＋kπ<x<kπ＋，k∈Z，可得<x≤1.则函数的定义域为(，1]. 2．(2021·重庆巴蜀中学月考)若函数f(x＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f(logx)的定义域为____． 解析：∵f(x＋1)的定义域是[－1，1]， ∴f(x)的定义域是[0，2]， 则f(logx)的定义域为满足不等式0≤logx≤2的x的取值范围，∴≤x≤1. 3．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为__[－1，2]__． 解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，所以x∈[－， ]，x2－1∈[－1, 2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1, 2]. 4．已知函数f(x)＝lg (ax2＋