第二章 第五节 指数与指数函数（word教师用书）-2023高考数学（理科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教 全国版）

　 知识梳理 1．根式 n次方根 概念 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 性质 当n是奇数时，a的n次方根为x＝ 当n是偶数时，整数的n次方根为x＝±，负数没有偶次方根 0的任意正整数次方根均为0，记作＝0 根 式 概念 式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数 性质 当n为奇数时，＝a 当n为偶数时，＝|a|＝ 2.有理数指数幂 幂的有关概念 正数的正分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1) 正数的负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指数幂的 运算性质 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； (ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； (ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q) (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 3．指数函数定义、图象与性质 (1)定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． (2)指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 减函数 增函数 学霸笔记 1．图象问题 (1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，(－1， ). (2)y＝ax与y＝()x的图象关于y轴对称． (3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减． 2．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 进阶诊断 1．判断正误 (1)＝()n＝a(n∈N*).(　×　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　×　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　√　) 2．(忽视x<0时开偶次方致误)化简 的结果是(　B　) A．　　　　　　　 B．－ C． D. － 解析：由题意得x<0，所以＝＝＝＝－. 3．(教材习题改编)已知a＝()，b＝()，c＝()，则(　D　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 解析：因为y＝()x在R上为减函数，>，所以b<c.又y＝x在(0，＋∞)上为增函数，>，所以a>c，所以b<c<A． 4．(教材习题改编)计算＋＝__2__． 解析： ＋ ＝1＋＋|1－|＝1＋＋－1＝2. 考点1　指数幂的运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　D　) A．(－2)－2＝4　　　　　　　 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D．(a－)4＝ 解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a－)4＝，故D正确． 2．(2021·湖北武汉模拟)大气压强p＝，它的单位是“帕斯卡”(Pa，1 Pa＝1 N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000 126 m－1)，p0是海平面大气压强．已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，＝，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln 2≈0.693)(　C　) A．550 m B．1 818 m C．5 500 m D．8 732 m 解析：在某高山A1，A2两处海拔高度为h1，h2， 所以＝＝e－k(h1－h2)＝， 所以－k(h1－h2)＝ln ＝－ln 2， 所以h1－h2≈＝5 500(m). 3．(2021·山东青岛模拟)化简a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3)(a，b>0)＝__－__． 解析：原式＝－a－b－3÷(4a·b－3) ＝－a－b－3÷(ab－) ＝－a－·b－ ＝－·＝－. 4．已知14a＝7b＝4c＝2，则 － ＋ ＝___