第二章 第五节 指数与指数函数（word教师用书）-2023高考数学（理科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（北师大 全国版）

　 知识梳理 1．根式 n 次 方 根 概念 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋ 性质 当n是奇数时，a的n次方根为x＝ 当n是偶数时，正数的n次方根为x＝±，负数没有偶次方根 0的任意正整数次方根均为0，记作＝0 根 式 概念 式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 当n为奇数时，＝a 当n为偶数时， ＝|a|＝ 2.有理数指数幂 幂的有 关概念 正数的正分数指数幂：＝(a＞0，m，n∈N＋，n＞1) 正数的负分数指数幂： (a＞0，m，n∈N＋，n＞1) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指数幂的 运算性质 aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； (ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； (ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q) (1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 3．指数函数定义、图像与性质 (1)定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图像与性质 0<a<1 a>1 图像 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 减函数 增函数 形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 学霸笔记 1．图像问题 (1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，(－1， ). (2)y＝ax与y＝()x的图像关于y轴对称． (3)当a＞1时，指数函数的图像呈上升趋势；当0＜a＜1时，指数函数的图像呈下降趋势．简记：撇增捺减． 2．指数函数的图像与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b. 规律：在y轴右(左)侧图像越高(低)，其底数越大． 进阶诊断 1．判断正误 (1)＝()n＝a(n∈N＋).(　×　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　×　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　√　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　×　) (5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．(　√　) 2．化简(x<0，y<0)得(　D　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 3．如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝6x，y＝()x的一个是(　B　) A．① B．② C．③ D．④ 4．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为，则a的值为(　D　) A． B． C．或2 D．或 5．已知函数f(x)＝a－(a∈R)为奇函数，则a＝__1__． 考点1　指数幂的运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　D　) A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝ C．(－2)0＝－1 D． 解析：(－2)－2＝，故A错误；2a－3＝，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；，故D正确． 2. (a>0，b>0)＝____． 解析：原式＝＝. 3．已知14a＝7b＝4c＝2，则－＋＝____3____． 解析：由题设可得2＝14，2＝7，＝4，则＝＝2，∴＝2×4＝23，∴－＋＝3. 指数幂运算 考点2　指数函数的图像及应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 (1)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图像可能是(　B　) (2)若函数y＝|2x－1|的图像与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为__(0，1)__． 解析：(1)y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图像的分段点是x＝1，且过点(1，0)，(0，1)，|f(x)|≥0.又y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递减． (2)作出曲线y＝|2x－1|的图像与直线y＝b如图所示．由图像可得b的取值范围是(0，1). 　将本例(2)改为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图像有两个公共点，求实数a的取值范围． 解：y＝|ax－1|的图像是由y＝ax的图像先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的． 当a＞1时，如图①，两图像