第二章 第四节 二次函数与幂函数（word教师用书）-2023高考数学（理科）一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（北师大 全国版）

　 知识梳理 1．幂函数 (1)幂函数的概念 如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数． 幂函数的特征 (1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数； (2)xα的系数为1； (3)解析式只有一项． (2)常见的五种幂函数的图像 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α>0时，幂函数的图像都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图像都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数的图像与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图像 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在[－，＋∞)上单调递增；在(－∞，－)上单调递减 在(－∞，－)上单调递增； 在[－，＋∞)上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 (－，) 对称性 图像关于直线x＝－成轴对称图形 二次函数的单调性、最值与二次函数的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． 学霸笔记 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 两点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). 2．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”； (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”． 进阶诊断 1．判断正误 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　×　) (3)函数y＝是幂函数．(　×　) (4)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　) (5)当n＜0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　) 2．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f(2)＝(　C　) A． B．4 C． D． 解析：设f(x)＝xα，因为图像经过点(4，)， 所以f(4)＝4α＝，解得α＝－， 所以f(x)＝， 所以f(2)＝＝. 3．若二次函数y＝2x2＋bx＋c关于y轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为(　B　) A．y＝2x2＋x＋3 B．y＝2x2＋3 C．y＝2x2＋x－3 D．y＝2x2－3 解析：由题可知函数y＝f(x)为偶函数，则b＝0.又过点(0，3)，则c＝3，故解析式为y＝2x2＋3. 4．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图像，则a，b，c的大小关系为(　D　) A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b 解析：根据幂函数的性质，可知选D. 5．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域为__[－1，3]__． 解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]， 得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数， 所以g(x)min＝g(1)＝－1，因为g(0)＝0，g(3)＝3， 所以g(x)在x∈[0，3]上的值域为[－1，3]. 考点1　幂函数的图像与性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．函数y＝x－1的图像关于x轴对称的图像大致是(　B　) 解析：y＝x的图像位于第一象限且为增函数，所以函数图像是上升的，函数y＝x－1的图像可看作由y＝x的图像向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图像所示).将y＝x－1的图像关于x轴对称后即为选项B. 2．(2021·辽宁沈阳月考)若幂函数f(x)＝(3m2－2m)x3m的图像不经过坐标原点，则实数m的取值为(　B　) A． B．－ C．－1 D．1 解析：由题意有3m2－2m＝1，解得m＝1或m＝－， 当m＝1时，f(x)＝x3，函数图像过原点，不合题意； 当m＝－时，f(x)＝x－1，函数图像不过原点，符合题意．故m＝－. 3．若，则a，b，c的大小关系是(　D　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 解析：因为y＝在第一象限内是增函数， 所以，因为y＝()x是减函数， 所以，所以b<a<c. 4．(2021·山东潍坊模拟)若，则实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(，)． 解析：不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<. 幂函数图像的应用注意点 (1)对于幂函数图像，要抓住直线x＝1，y＝1，y＝x将第一象限分成的六个区域．根据α＜0，0