2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试预测卷（八）

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试预测卷（八） 一、（本题满分40分）求最大的正整数n，使得存在实数，满足 （1）； （2）对任意，。 二、（本题满分40分）如图，在△ABC中，BE、CF是角平分线，I是内心。设N是△AEF外接圆上的一点，满足。设L是NI与△AEF外接圆的另一个交点，求证：△AIL的外心在直线BC上。 三、（本题满分50分）设整数。在一个3n×3n的棋盘的某个格中放置一枚棋子“王”。已知王在每一步可以向上移动一格，或向右移动一格，或向左下方移动一格。求最大的正整数k，使得k步之后，王回到了初始位置，并且移动过程中每个格至多经过一次。 四、（本题满分50分）如果一个三角形的三条边和至少一条高的长度是整数，则称其为整三角形。定义好数如下：（1）5是好数；（2）如果一个整三角形的某两边的长度（允许相同）是好数，则第三边的长度也是好数。求证：大于2的整数都是好数。 学科网（北京）股份有限公司 $