2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试预测卷（九）

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试预测卷（九） 一、（本题满分40分）如图，在△ABC中，H是垂心，BE、CF是高。X是直线BC上的一点，△BXE的外接圆与直线AB交于另一点Y，△CXF的外接圆与直线AC交于另一点Z。求证：△AYZ的外接圆与直线AH相切。 二、（本题满分40分）求证：在任意1400个互不相同的实数中，都能找到三个数x、y、z，满足 。 三、（本题满分50分）设G是有10000个顶点的简单图，没有孤立点，且色数为2021。称将相邻的两个顶点A、B合并，是指删去A、B及它们连的边，然后添加一个新的顶点C，且一个顶点与C相邻当且仅当它与A或B相邻。当A、B不相邻时不能进行合并。已知当任意合并一次，或连着合并两次后，所得图的色数都不超过2020。问：是否G中每个顶点的度都不小于2021？ 四、（本题满分50分）设n是正整数。求所有的非负整数组，使得对任意整数m，均有 ， 其中。 学科网（北京）股份有限公司 $