北京市西城区北京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷

北京师大附中2021-2022学年下学期高一年级期末考试数学试卷 本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分。 一、选择题：每小题4分，共40分，每题均只有一个正确答案。 1. 若点M（-，1）在角的终边上，则tan＝ A. B. - C. D. - 2. 已知向量a＝（-1，2），b＝（x，4），且a⊥b，则x＝ A. B. 2 C. 4 D. 8 3. 在复平面内，复数z＝（1-i）2＋1对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，PA⊥面ABC，△ABC中，BC⊥AC，则△PBC是 A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能 5. 若m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是 A. 若m//，m∥，则∥ B. 若m⊥，⊥，则m// C. 若m，m⊥，则⊥ D. 若m，⊥，则m⊥ 6. 在△ABC中，若2 acosB＝c，则该三角形一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 7. 函数＝2sin（x＋）（＞0，||<）的部分图象如图所示，则＝ A. - B. - C. D. 8. 已知函数＝sin2x，x［a，b］，则“b-a≥”是“的值域为［-1，1］”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（如图2）。假设内壁表面光滑，其内壁表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米。当这种酒杯内壁表面积S为定值时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为 图1 图2 A. （0，] B. [，+） C. [，） D. （，] 10. 已知四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝2，M为AB的中点，将△ADM沿DM折起，得到四棱锥A1-DMBC（如图），设A1C的中点为N。 在翻折过程中，有如下四个命题： ①BN∥平面A1DM； ②BN的长度为定值； ③三棱锥N-DMC体积的最大值为； ④在翻折过程中，存在某个位置，使得DM⊥A1C。其中真命题的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：每小题5分，共25分。 11. 复数=_________。 12. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则a＝_________。 13. 已知某圆锥的侧面积为π，该圆锥侧面的展开图是弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积为_________。 14. 已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|=|b|=|c|＝1，则a·b的值为________。 15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点，下列结论中，正确结论的序号是________。 ①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②B1D1∥平面EFG； ③BD1⊥平面ACB1； ④四面体ACB1D1的体积等于。 三、解答题：共6小题，共85分。解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16. （本小题14分） 在△ABC中，b＝2，c＝3，cosB＝-。 （I）求sinC的值； （Ⅱ）求△ABC的面积。 17. （本小题14分） 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别为BC、AC的中点，AB＝BC。 （I）求证：A1B1∥平面DEC1； （Ⅱ）求证：BE⊥C1E。 18. （本小题14分） 已知函数＝cos2x＋sinx cosx-。 （I）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）求在区间［0，］上的最值。 19. （本小题14分） 在△ABC中，acos B+b＝c，b＝2。 （I）求A； （Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上的高。 条件①：sinB＝；条件②：cosB＝-； 条件③：△ABC的面积为。 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。 20. （本小题15分） 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，点E在CD上，且DE＝2，将△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G为AE中点。 （I）求证：DG⊥平面ABCE； （Ⅱ）求四棱锥D-ABCE的体积； （Ⅲ）在线段BD上是否存在点P，使得CP∥平面ADE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。 21. （本小题14分） 对于集合A＝｛1，2，…，n｝和常数0，定义： 为集合A相对0的“余弦方差”。 （I）若