2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试预测卷（五）

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试预测卷（五） 一． （本题满分40分）如图，在直角中，，点在直线上使得在之间，为中点且为的外接圆与的外接圆的交点（异于）．证明：当运动时，直线过一个定点． 二． （本题满分40分）已知为的一个排列，求的最大值． 三． （本题满分50分）给定整数．在一个方格表的每个方格中填入一个正整数．对于每行的个方格，考虑出现在该行中的不同正整数的集合，行至多可以得到个不同的集合，记这些集合构成的集族为．类似地，对于每列的个方格，考虑出现在该列中的不同正整数的集合，列至多可以得到个不同的集合，记这些集合构的集族为．若，问：方格表中最多有多少个不同的正整数？ 四． （本题满分50分）求所有正整数，使得存在整数满足 ． 学科网（北京）股份有限公司 $