第14讲 双曲线-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

第14讲 双曲线 【考点梳理】 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)若a<c时，则集合P为双曲线； (2)若a＝c时，则集合P为两条射线； (3)若a>c时，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图　形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 【解题方法和技巧】 1.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支． （2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系． 2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1． 3.圆锥曲线的弦长 （1）圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． （2）圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|．(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)． 【考点剖析】 【考点1】双曲线的定义 一、单选题 1．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（       ） A．6 B．7 C． D．5 【答案】A 【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解. 【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以． 故选：A 2．（2022·上海·高三专题练习）下列四个选项中正确的是（       ） A．关于的方程()的曲线是圆 B．设复数是两个不同的复数，实数，则关于复数的方程的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆 C．设为两个不同的定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线的一支 D．双曲线与椭圆有相同的焦点 【答案】D 【分析】A. 由圆的一般方程判断；B.由椭圆的定义判断； C.由双曲线的定义判断；D.由双曲线和椭圆的焦点判断. 【详解】A. 当时，方程()表示的曲线是圆，故错误； B. 设复数所对应的点A，B，复数所对应的点C，方程表示点C到点AB的距离和为2a，当时，轨迹是椭圆，故错误； C.设为两个不同的定点，为非零常数，若，当时，动点的轨迹为双曲线的一支，故错误； D.因为双曲线，所以，所以其焦点坐标为和，椭圆，，所以其焦点坐标为和，故正确； 故选：D 3．（2022·上海市建平中学高三期中）设、是双曲线C：的两个焦点，P是C上一点，若，∠是△的最小内角，且，则双曲线C的渐近线方程是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及双曲线的性质可得，在焦点三角形中应用余弦定理得到参数a、c的齐次方程，进而可得a、b、c的数量关系，写出渐近线方程. 【详解】由∠是△的最小内角， 根据双曲线性质知：，则， 又，可得，而，， 所以，则， 所以，故，则渐近线为. 故选：B 4．（2022·上海·高三专题练习）设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设,所求式表示,利用双曲线的定义进行转化后，利用距离三角不等式即可求得最小值. 【详解】， 设,上式表示,由于双曲线的左焦点为, 双曲线的实轴,, , ,当在的延长线