第1板块 小题突破练16 利用导数研究函数的单调性-【百汇大课堂】新教材2023版高考数学总复习天天练

８－２ ６ ５ ,b＝４ ６－６１０ 时取等号), ∴２３a＋ １ ４b 的最小值为１１ １２＋ ６ ３． 故选C． 小题突破练１６ [热考模拟练] １．A　解析:观 察 函 数y＝f(x)的 图 象 知,y＝f(x)在 －１３ ,１[ ] 和[２,３)上单调递减, 所以不等式f′(x)≤０的解集为 －１３ ,１[ ] ∪[２,３)．故选 A． ２．B　解析:由f(x)＝２x＋x ２＋２alnx,得f′(x)＝－２x２ ＋ ２x＋２ax , 由f(x)在 １２ ,１[ ] 上单调递减,得f′(x)＝－２x２ ＋２x＋ ２a x ≤０ 在 １ ２ ,１[ ] 上恒成立,即a≤ １x －x ２ 在 １ ２ ,１[ ] 上 恒成立． 令g(x)＝１x－x ２,在 １ ２ ,１[ ] 上g′(x)＝－１x２－２x＜０, ∴g(x)在 １２ ,１[ ] 上单调递减,即g(x)min＝g(１)＝０, ∴a≤０,故a的取值范围为(－∞,０]．故选B． ３．D　解析:函数f(x)＝esinx(－π≤x≤π), ∵f′(x)＝esinxcosx, ∴当x∈ －π,－π２( ) 和x∈ π ２ ,π( ) 时,f′(x)＜０,f(x) 单调递减; 当x∈ －π２ ,π ２( ) 时,f′(x)＞０,f(x)单调递增．只有 D 符合．故选 D． ４．A　解析:根据题意,可知a＞０,b＞０, ∵log２b－b＋４b２＋１, ＝(log２b＋１)－b＋(２b)２, ＝(log２b＋log２２)－２b＋(２b)２＋b, ＝log２(２b)－２b＋(２b)２＋b, ∴log２a－a＋a２＝log２(２b)－２b＋(２b)２＋b＞log２(２b)－ ２b＋(２b)２, 令f(x)＝log２x－x＋x２(x∈(０,＋∞)), 即f(a)＞f(２b), ∵f′(x)＝ １x􀅰ln２－１＋２x＝ １－x􀅰ln２＋(２ln２)􀅰x２ x􀅰ln２ , 令g(x)＝(２ln２)􀅰x２－x􀅰ln２＋１, ∵０＜ln２＜１, ∴Δ＝(ln２)２－８ln２＝ln２􀅰(ln２－８)＜０, 即对于任意的x∈(０,＋∞),恒有g(x)＞０,故f′(x) ＞０, ∴f(x)在(０,＋∞)上单调递增,∴a＞２b．故选 A． ５．A　解析:f(x)＝sin２x＋２sinx,x∈[０,π],所以f′(x)＝ ２sinxcosx＋２cosx＝２cosx(sinx＋１),因为sinx＋１≥ ０恒成立, 当x∈ ０,π２[ ] 时cosx≥０,所以f′(x)≥０,所以f(x)为 增函数, 当x∈ π２ ,π( ) 时cosx＜０,所以f′(x)＜０,所以f(x)为 减函数． 令g(x)＝f′(x)＝２sinxcosx＋２cosx,x∈ ０,π２[ ] , 则g′(x)＝２cos２x－２sin２x－２sinx＝２－４sin２x－２sinx, 令t＝sinx,则t∈[０,１], g′(t)＝－４t２－２t＋２＝－２(２t－１)(t＋１),所以当t∈ ０,１２[ ] ,即x∈ ０, π ６[ ] 时g′(x)≥０,g(x)单调递增,所 以函数f(x)＝sin２x＋２sinx在区间[０,π]上的“快增区 间”为 ０,π６[ ]．故选 A． ６．D　解析:当x＞０时,令f′(x)＝２－lnxx２ ＝０,得x＝ e２．即 当x∈(０,e２)时,f(x)单调递增,当x∈(e２,＋∞)时, f(x)单调递减,且f(e２)＝１e２ ． 若关于x 的方程f(x)＝kx－ １e 有 三 个 不 相 等 的 实 数根, 当k＞０ 时,过 点 ０,－１e( ) 作 曲 线 的 切 线,设 切 点 为 P(x０,lnx０－１x０ ) , 切线方程为y－ lnx０－１ x０ ＝ ２－lnx０ x２０ (x－x０)． 切线经过点 ０,－１e( ) , 则 ３－２lnx０ x０ ＝１e＝ ３－２lne e , 又∵y＝３－２lnxx 在x∈(０,e２)时单调递减． ∴x０＝e,切线的斜率为 １ e２ ,∴k∈ ０,１e２( )． 由对称性知k∈ －１e２ ,０( ) ∪ ０,１e２( )．故选 D． ７．BC　解析:对于任意给定的不等实数x１,x２,不等式 x１f(x１)＋x２f(x２)＞x１f(x２)＋x２f(x１)恒成立, 原不等式等价为(x１－x２)[f(x１)－f(x２)]＞０恒成立, 设x１＜x２,则f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２), 即函数f(x)是定义在R上的增函数． 对于 A选项,函数y＝－x３＋x＋１,则y′＝１－３x２, 当x＜－ ３３ 或x＞ ３３ 时,y′＜０,此时函数y＝－x３＋x＋ １为减函数,不满足条件; 对于B选项,y＝３x－２(sinx－cosx),y′＝３－