第1板块 小题突破练15 导数的概念及运算-【百汇大课堂】新教材2023版高考数学总复习天天练

在[１６０,１９０]上设其他函数式也可以,只要是增函数,如 y＝b－ax (a＞０),y＝ax２＋b(a＞０)等等． 小题突破练１５ [热考模拟练] １．A　解析:由f(x)＝cosx－１x ,得f′(x)＝－sinx＋１x２ ． 因为１ x２ ＞０,sinx∈[－１,１], 所以f′(x)＞－１,所以函数f(x)＝cosx－１x 的图象的 切线斜率大于－１．故选 A． ２．D　解析:因为S(t)＝k􀅰e－ t ２ ,所以S′(t)＝－ １２k 􀅰 e－ t ２ ,因为当t＝２s时,该物体的瞬时速度v为－２e m /s, 所以S′(２)＝－１２k 􀅰e－１＝－２e ,解得k＝４,所以S(t) ＝４e－ t ２ ,所以S(６)＝４e－３．故选 D． ３．C　解析:函数f(x)＝x＋sinx＋１,可得f′(x)＝１＋ cosx, 所以在x＝０处的切线的斜率为f′(０)＝１＋cos０＝２, 切点坐标为(０,１),所以切线方程为y－１＝２(x－０),即 y＝２x＋１．故选C． ４．D　解析:设直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－２相切于点 P(x１,y１),y′＝ex－２,k１＝ex１－２, 直线y＝kx＋b与曲线y＝ex－１相切于点Q(x２,y２),y′ ＝ex,k２＝ex２, ∴l１:y＝ex１－２x＋ex１－２－x１ex１－２, ∴l２:y＝ex２x＋ex２－１－x２ex２, ∴ ex１－２＝ex２, ex１－２－x１ex１－２＝ex２－x２ex２－１,{ ∴x２＝－ln２, ∴k＋b＝ex２＋ex２－１－x２ex２ ＝ １ ２＋ １ ２－１－ (－ln２)× １ ２＝ ln２ ２ ． 故选 D． ５．ACD　解析:在t１ 时刻,两图象相交,即此时甲、乙两人 血管中的药物浓度相同,故 A正确; 两条曲线在t２ 时刻的切线的斜率不相等,所以此时甲、 乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同,故 B 错误; 根据平均变化率公式,可知在[t２,t３]这个时间段内,甲、 乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是 c３－c２ t３－t２ ,故 C正确; 在[t１,t２]时间段内,甲血管中的药物浓度的平均变化率 是 c２－c１ t２－t１ ,在[t２,t３]时间段内,甲血管中的药物浓度的平 均变化率是 c３－c２ t３－t２ ,显然不相等,故 D正确．故选 ACD． ６．D 　 解 析:f′ (x)＝ １ － a２x２ ,设 切 点 坐 标 为 x０,x０＋ a ２x０( ) ,则 切 线 方 程 为 y － x０ － a ２x０ ＝ １－ a ２x２０( )(x－x０), 又切线过点(２,０),可得－x０ － a ２x０ ＝ １－ a２x２０( )(２－ x０),整理得２x２０＋ax０－a＝０, 因为满足条件的曲线有两条切线,故方程有两个不等实 根,即满足Δ＝a２－８(－a)＞０,解得a＞０或a＜－８．故 选 D． ７．２　解析:由f(x)＝(x２＋ax＋２)ex 可得f′(x)＝(２x＋ a)ex＋(x２＋ax＋２)ex＝[x２＋(a＋２)x＋a＋２]ex, 则f(x)的图象在点(０,f(０))处的切线斜率为k＝f′(０) ＝a＋２, 因为该切线与直线４x－y＋３＝０平行,所以a＋２＝４,则 a＝２, 此时f(０)＝２,所以切线方程为y＝４x＋２,显然与４x－y ＋３＝０平行． ８．０　y＝１e　 解析:由f(x)＝lnxx＋a , 得f′(x)＝ (x＋a) x －lnx (x＋a)２ , 因为f′(１)＝１,即 １１＋a＝１ ,解得a＝０, 所以f(x)＝lnxx ,f′(x)＝１－lnxx２ , 所以f(e)＝１e ,f′(e)＝０, 所以曲线y＝f(x)在x＝e处的切线方程为y＝１e． [高考衍生练] １．D　解析:由题意得 ２＝１３＋a×１, ２＝１２＋b×１＋c,{ 即 a＝１, b＋c＝１．{ 设f(x)＝x３＋x,g(x)＝x２＋bx＋c, 因为f′(x)＝３x２＋１,g′(x)＝２x＋b, 所以f′(１)＝４,g′(１)＝２＋b, 又因为两曲线在点P 处有公切线,所以f′(１)＝g′(１)＝ ２＋b＝４,所以b＝２,c＝－１． 所以logb ax２－c ２x ＝log２ x２＋１ ２x ＝log２ x ２＋ １ ２x( ) ≥log２１ ＝０(当且仅当x＝１时等号成立)． 故选 D． ２．D　解析:因为y＝xex＋２,所以y′＝(x＋１)ex, 所以y′|x＝０＝１．又y|x＝０＝２, 所以曲线y＝xex＋２在x＝０处的切线方程为x－y＋２ ＝０．故选 D． ３．D　解析:由f(x)＝xlnx求导得f′(x)＝１＋lnx, 则f′(１)＝１＋ln１＝１, 于是得函数f(x)在点A(１,０)处的切线l的方程为y＝x －