第1板块 小题突破练8 函数的奇偶性与周期性-【百汇大课堂】新教材2023版高考数学总复习天天练

函数y＝(x－１)２ 在(０,１)上单调递减,在(１,＋∞)上单 调递增,不符合题意;对于 D选项,对数函数y＝lnx,底 数e＞１,所以对数函数y＝lnx在(０,＋∞)上单调递增, 符合题意．故选 D． ２．A　解析:令g(x)＝f(x)－２,则f(x)＝g(x)＋２, 对任意的x,y∈R,总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋２,则 g(x)＋g(y)＝g(x＋y), 令y＝０,可得g(x)＋g(０)＝g(x),可得g(０)＝０, 令y＝－x时,则由g(x)＋g(－x)＝g(０)＝０, 即g(－x)＝－g(x), 当x＞０时,f(x)＞２,即g(x)＞０, 对于任意x１,x２∈R且x１＞x２,则g(x１)＋g(－x２)＝ g(x１－x２)＞０,即g(x１)－g(x２)＞０,即g(x１)＞g(x２), 所以函数g(x)在 R上为增函数,且有g(２)＝f(２)－２ ＝１, 由f(x)＋f(２x－２)＞６,可得g(x)＋g(２x－２)＋４＞６, 即g(x)＋g(２x－２)＞２g(２), 所以g(３x－２)＞２g(２)＝g(４),所以３x－２＞４,解得x ＞２． 因此,不等式f(x)＋f(２x－２)＞６的解集为(２,＋∞)． 故选 A． ３．B　解析:若函数f(x)＝ (a－１)x－２a,x＜２, logax,x≥２{ 在R上单 调递减,则 a－１＜０, ０＜a＜１, ２(a－１)－２a≥loga２, { 解得 ２ ２≤a＜１． 故选B． ４．D　解析:函数f(x)＝ |x＋１|－１,x≤０, －x２＋２x,x＞０,{ 则f(x)＝ －x－２,x≤－１, x,－１＜x≤０, －x２＋２x,x＞０, { 设g(x)＝f(x)＋１, 可得g(x)＝ －１－x,x≤－１, x＋１,－１＜x≤０, －x２＋２x＋１,x＞０, { 作出g(x)的图象, 从图象可知,当m＝－２时,可得 g(x)在[m,m＋２]上 的最大值为１; 当 －２＜ m ＜ －１ 时, g(x)max ＝ g(m＋２)＝ －(m＋２)２＋２(m＋２)＋１＝ －(m＋１)２＋２ ∈ (１, ２); 当－１≤m≤０时, g(x)max＝ g(１)＝ ２, 综上可 得 在 区 间 [m,m＋２](－２≤m≤０)上,y＝ f(x)＋１的最大值的取值范围是[１,２]．故选 D． 小题突破练８ [热考模拟练] １．D　解析:∵f(a)＋f(－a)＝a３－３a－２＋(－a)３－３× (－a)－２＝－４,所以f(－a)＝－８．故选 D． ２．C　解析:由题意可知,函数f(x)是周期函数,且３为函 数f(x)的一个周期, 所以f(２０２１)＝f(６７３×３＋２)＝f(２)＝log３９＝２．故 选C． ３．AD　解析:对于 A,因为f(－x)＝(－x)２－２＝x２－２＝ f(x),所以y＝x２－２是偶函数,在区间(０,１)上为增函 数,符合题意; 对于B,因为f(－x)＝ ２－x＝－ ２ x ＝－f (x),所以y＝ ２ x 是奇函数,且在区间(０,１)上为减函数,不符合题意; 对于C,因为f(－x)＝|－x|＋ １|－x|＝|x|＋ １ x ＝ f(x),所以y＝|x|＋ １x (x≠０)是偶函数,当x∈(０,１) 时,y＝x＋１x 单调递减,不符合题意; 对于 D,因为f(－x)＝ x ２ |－x|＝ x２ x ＝f (x),所以y＝ x２ x (x≠０)是偶函数,且在区间(０,１)上为增函数,符合 题意．故选 AD． ４．A　解析:由题意可得, f(x)＝log２[２(x＋１)＋ ４(x＋１)２＋４]＝log２[(x＋１) ＋ (x＋１)２＋１]＋１, 则f(x－１)－１＝log２(x＋ x２＋１), 令g(x)＝log２(x＋ x２＋１),定义域为R, ∴g(x)＋g(－x)＝log２(x＋ x２＋１)＋log２(－x＋ x２＋１)＝log１＝０． 故g(x)＝f(x－１)－１是奇函数．故选 A． ５．B　解析:由题意得－f(x)＝f(－x),f(x＋１)＝f(－x ＋１), 所以f(x＋２)＝f(－(x＋１)＋１)＝f(－x)＝－f(x),① 所以f(x＋４)＝－f(x＋２),② ①②联立可得f(x＋４)＝f(x),即f(x)的周期为４, 又f(２)＝f(０)＝０,f(３)＝f(－１)＝－f(１), 所以４a＋b＝０且a＋b＝－３,解得a＝１,b＝－４, 即f(x)＝x２－４, 所以f １７２( )＝f １ ２( )＝f ３ ２( )＝－ ７ ４． 故选B． ６．B　解析:由函数y＝f(x－１)的图象关于点(１,０)对称 知,函数y＝f(x)的图象关于原点对称,即函数y＝f(x) 是奇函数, 对任意的x,总有f(x－２)＝f(x＋２)成立,即f(x＋４) ＝f(x)恒成立,可