第1板块 小题突破练4 基本不等式-【百汇大课堂】新教材2023版高考数学总复习天天练

１３a－２＜２５×１２a－２＋１４４×１２a－２－１６９×１３a－２＝１６９× １２a－２－１６９×１３a－２＝１６９(１２a－２－１３a－２)＜０, 所以５a＋１２a＜１３a,即１３b＜１３a, 所以b＜a． 综上所述,a＞b＞２．故选 A． [高考衍生练] １．A　解析:∵lnyx ＞lg x y , ∴lny－lnx＞lgx－lgy, ∴lny＋lgy＞lnx＋lgx, ∴y＞x＞０(由函数y＝lnx＋lgx为增函数)． 对于 A,y＞x＞０⇒１x＞ １ y ,故正确; 对于B,取y＝π,x＝π２ ,siny＝０＜sinx＝１,故错误; 对于C,取y＝２,x＝１,显然不成立,故错误; 对于 D,假设e y x ＞１０ x y 成立,则lne y x ＞ln１０ x y ,即y x ＞ x yln１０ , 可得y２＞x２ln１０,而当y＞x＞０时,不一定有y２＞x２ln１０, 故不成立．故选 A． ２．D　解析:对选项 A,１a－ １ b＝ b－a ab ,因为a＜b＜０, 所以ab＞０,b－a＞０,即b－aab ＞０ ,所以 １ a ＞ １ b ,故 A 错误; 对选项B,a－１b － b－ １ a( ) ＝a－b＋ １ a － １ b ＝ (a－b) 􀅰ab－１ ab , 因为a＜b＜０,所以a－b＜０,不能判断ab与１之间的关 系,故B不正确; 对选项C,因为b－a＞０,所以ln(b－a)的范围为 R,故 C 错误; 对选项 D,因为a＜b＜０,所以ab ＞０ ,b a ＞０ , 因为a b － b a ＝ a２－b２ ab ＞０ ,所以a b ＞ b a , 又因为c＞０,所以y＝xc 在(０,＋∞)为增函数,所以 a b( ) c ＞ ba( ) c ,故 D正确．故选 D． ３．C　解析:因为a＞b,c＞d,且y＝２x 在R上为增函数, 所以２a＞２b＞０,２c＞２d＞０, 所以２a􀅰２c＞２b􀅰２d,２a＋２c＞２b＋２d,所以①②正确; 因为当a＝２,b＝１,c＝－１,d＝－２时,满足a＞b,c＞d, 此时ac＝bd＝－２,则２ac＝２bd,即(２a)c＝(２b)d,所以③ 错误．故选C． ４．A　 解 析:a＝ ４３ ＝log３３ ４ ３ ＝log３８１ １ ３ ,b＝log３４＝ log３６４ １ ３ , 因为８１＞６４,所以８１ １ ３ ＞６４ １ ３ ,所以log３８１ １ ３ ＞log３６４ １ ３ , 即a＞b, 由b＝log３４,c＝log４５, b－c＝log３４－log４５＝ １ log４３ －log４５＝ １－log４３􀅰log４５ log４３ , 因为log４３＞０,log４５＞０,log４３≠log４５, 则log４３􀅰log４５＜ １ ４ (log４３＋log４５)２＝ １ ４ (log４１５)２＜ １ ４ ×２２＝１, 所以１－log４３􀅰log４５＞０,即b－c＞０,所以b＞c, 所以a＞b＞c．故选 A． 小题突破练４ [热考模拟练] １．C　解析:由 f(x)＝ － ４ex＋２ 可 得 f′(x)＝ ４e x (ex＋２)２ ＝ ４ ex＋４ ex ＋４ ． 因为ex＋４ ex ＋４≥２ ex􀅰４ ex ＋４＝８,当且仅当ex＝４ ex , 即ex＝２,x＝ln２时等号成立, 所以０＜f′(x)≤１２ , 所以直线l的斜率的最大值为１２． 故选C． ２．A　解析:∵x＞０,y＞０,由x２＋４xy－４＝０可得y＝ ４－x２ ４x ＞０ ,解得０＜x＜２, ∴x＋y＝x＋４－x ２ ４x ＝ ３x ４＋ １ x≥２ ３x ４ 􀅰１ x ＝ ３ , 当且仅当３x ４＝ １ x ,即x＝２ ３３ 时等号成立,即x＋y的最 小值是 ３．故选 A． ３．C　解析:∵x,y∈R,a＞１,b＞１,且ax＝by＝３, ∴x＝loga３＝ １ log３a ,y＝logb３＝ １ log３b , ∴１x ＋ １ y ＝log３a＋log３b＝log３ab≤log３ a＋b ２( ) ２ ＝ log３ (２ ３２ ) ２ ＝１, 当且仅当a＝b＝ ３时等号成立,∴ １x ＋ １ y 的最大值为 １．故选C． ４．BCD　解析:对于 A:xy＝１２×２x×y≤ １ ２× ２x＋y ２( ) ２ ＝１２× ２５ ４＝ ２５ ８ , 当且仅当２x＝y,即x＝５４ ,y＝５２ 时取等号,所以xy的 最大值为２５ ８ ,故 A错误; 对 于 B:２xy ＋ ５ ２x ＝ ２x y ＋ ２x＋y ２x ＝ ２x y ＋ y ２x ＋１≥ ２ ２xy × y ２x＋１＝３ , 当且仅当２x y ＝ y ２x ,即x＝５４ ,y＝５２ 时取等号,２x y ＋ ５ ２x 的 最小值为３,故B正确;