第1板块 大题规范练3 利用导数研究函数的零点问题-【百汇大课堂】新教材2023版高考数学总复习天天练

原问题等价于h(x)min＞a． h′(x)＝x－lnx－２(x－１)２ ,令g(x)＝x－lnx－２, 则g′(x)＝１－１x＝ x－１ x ＞０ ,故g(x)在(１,＋∞)上单调 递增． ∵g(３)＝３－ln３－２＝１－ln３＜０,g(４)＝４－ln４－２＝２ －ln４＞０, 由零点存在性定理可知,存在x０∈(３,４),使g(x０)＝x０ －lnx０－２＝０,即x０－２＝lnx０． 当x∈(１,x０)时,g(x)＜０,h′(x)＜０,h(x)单调递减; 当x∈(x０,＋∞)时,g(x)＞０,h′(x)＞０,h(x)单调递增． ∴h(x)min＝h(x０)＝ x０lnx０＋２x０－１ x０－１ ． 利用x０－２＝lnx０ 可得, h(x)min＝ x０(x０－２)＋２x０－１ x０－１ ＝x０＋１． ∵x０∈(３,４),∴x０＋１∈(４,５), ∵a∈Z,∴a的最大值为４． ２．(１)解:函数f(x)＝alnx＋１x 的定义域是(０,＋∞), f′(x)＝ax － １ x２ ＝ax－１ x２ ． ①当a≤０时,ax－１＜０,ax－１ x２ ＜０,则f′(x)＜０, 则函数f(x)在(０,＋∞)上单调递减,即函数f(x)在[１, ２]上单调递减, 故函数f(x)在[１,２]上的最小值为f(２)＝aln２＋１２． ②当a＞０时,令f′(x)＜０,得０＜x＜ １a ;令f′(x)＞０, 得x＞１a , 故函数f(x)在 ０,１a( ) 上单调递减,在 １ a ,＋∞( ) 上单 调递增． (i)当１a≤１ ,即a≥１时,函数f(x)在[１,２]上单调递增, 故函数f(x)在[１,２]上的最小值为f(１)＝１; (i)当１a≥２ ,即０＜a≤ １２ 时,函数f(x)在[１,２]上单调 递减,故函数f(x)在[１,２]上的最小值为f(２)＝aln２ ＋１２ ; (ii)当 １＜ １a ＜２ ,即 １ ２ ＜a＜１ 时,函 数 f(x)在 １,１a[ ) 上单调递减,在 １ a ,２[ ] 上单调递增,此时函数 f(x)在[１,２]上的最小值为f １a( )＝aln １ a＋a． 综上,当a≤ １２ 时,函数 f(x)在[１,２]上 的 最 小 值 为 aln２＋１２ ;当１ ２＜a＜１ 时,函数f(x)在[１,２]上的最小 值为aln １a＋a ;当a≥１时,函数f(x)在[１,２]上的最小 值为１． (２)证明:当a＝１时,f(x)＝lnx＋１x , 要证f(x)＜e x＋cosx x ,即证lnx＋１x＜ ex＋cosx x , 因为x＞０,所以两边同时乘以x,得xlnx＋１＜ex＋cosx, 即证xlnx＜ex＋cosx－１． 当０＜x≤１时,xlnx≤０,而ex＋cosx－１＞１＋cos１－１ ＝cos１＞０, 所以xlnx＜ex ＋cosx－１成立,即f(x)＜e x＋cosx x 成立． 当x＞１时,令h(x)＝ex＋cosx－xlnx－１(x＞１), 则h′(x)＝ex－sinx－lnx－１． 设g(x)＝ex－sinx－lnx－１(x＞１), 则g′(x)＝ex－cosx－１x． 因为x＞１,所以g′(x)＝ex－cosx－１x＞e－１－１＞０ , 所以当x＞１时,g(x)单调递增, 所以g(x)＞e－sin１－１＞０,即h′(x)＞０, 所以h(x)在(１,＋∞)上单调递增, 所以h(x)＞e＋cos１－１＞０,即f(x)＜e x＋cosx x 成立． 综上,对任意x∈(０,＋∞),恒有f(x)＜e x＋cosx x 成立． 大题规范练[３] [热考模拟练] １．解:(１)f(x)定 义 域 为 (１,＋ ∞),f′(x)＝ １x－１－a ＝－ax＋a＋１x－１ ． 若a＜０,则f′(x)＞０在(１,＋∞)上恒成立,∴f(x)在 (１,＋∞)上单调递增,无递减区间; 若a＞０,则令f′(x)＝０,解得x＝a＋１a ＝１＋ １ a ,当x∈ １,a＋１a( ) 时,f′(x)＞０;当x∈ a＋１ a ,＋∞( ) 时,f′(x) ＜０． ∴f(x)在 １,a＋１a( ) 上单调递增,在 a＋１ a ,＋∞( ) 上单 调递减． 综上所述,当a＜０时,f(x)在(１,＋∞)上单调递增,无 递减区间;当a＞０时,f(x)在 １,a＋１a( ) 上单调递增,在 a＋１ a ,＋∞( ) 上单调递减． (２)令f(x)＝０,则ln(x－１)＝a(x－１), 过点(１,０)作y＝ln(x－１)的切线,设切点为(t,ln(t－１)), 则切线斜率k＝ １t－１＝ ln(t－１)－０ t－１ ,解得t＝e＋１,∴切 线斜率k＝１e , 若y＝f(x)有两个零点,则y＝ln(x－１)与y＝a(x－１) 的图象有两个不同的交点,如下图