第1板块 大题规范练2 利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题-【百汇大课堂】新教材2023版高考数学总复习天天练

所以仅需证lnm＞２×m－１m＋１ , 令 H(x)＝lnx－２ (x－１) x＋１ (x＞１),则 H′(x)＝ (x－１)２ x(x＋１)２ ＞０, ∴H(x)在(１,＋∞)上单调递增, 故 H(x)＞H(１)＝０,即lnx＞２ (x－１) x＋１ ． ∴结论得证． 大题规范练[２] [热考模拟练] １．解:(１)当a＝１时,f(x)＝ex－x,则f′(x)＝ex－１,令 f′(x)＝０,解得x＝０． 当x∈(０,＋∞)时,f′(x)＞０,故f(x)在(０,＋∞)内单 调递增; 当x∈(－∞,０)时,f′(x)＜０,故f(x)在(－∞,０)内单 调递减． ∴函数f(x)在x＝０处取得极小值f(０)＝１,无极大值． (２)由f(x)≥a２ (x２＋１),得eax≥a２ (x＋１)２． 令x＝０,得１≥a２ ,故１ ２＜a≤２． 当x＝－１时,不等式eax≥a２ (x＋１)２ 显然成立, 当x∈(－１,＋∞)时,两边取对数,即ax≥２ln(x＋１)＋ lna２ 恒成立． 令函数F(x)＝２ln(x＋１)－ax＋lna２ , 则F(x)≤０在(－１,＋∞)内恒成立． 由F′(x)＝ ２x＋１－a＝ ２－a(x＋１) x＋１ ＝０ , 得x＝２a－１＞－１． 故当x∈ －１,２a－１( ) 时,F′(x)＞０,F(x)单调递增; 当x∈ ２a－１ ,＋∞( ) 时,F′(x)＜０,F(x)单调递减． 因此F(x)≤F ２a－１( ) ＝２ln ２ a －２＋a＋ln a ２＝a－２ －lna２． 令函数g(a)＝a－２－lna２ ,其中１ ２＜a≤２ , 则由g′(a)＝１－１a＝ a－１ a ＝０ ,得a＝１, 故当a∈ １２ ,１( ) 时,g′(a)＜０,g(a)单调递减; 当a∈(１,２]时,g′(a)＞０,g(a)单调递增． 又g １２( )＝ln４－ ３ ２＜０ ,g(２)＝０, 故当１ ２＜a≤２ 时,g(a)≤０恒成立,因此 F(x)≤０恒 成立, 综上可知,当１ ２＜a≤２ 时,对任意的x∈[－１,＋∞),均 有f(x)≥a２ (x２＋１)成立． ２．(１)解:f′(x)＝(x－３)ex－３－x＋３＝(x－３)(ex－３－１), 当x＞３时,x－３＞０,ex－３－１＞０,∴f′(x)＞０, 当x＜３时,x－３＜０,ex－３－１＜０,∴f′(x)＞０, 当x＝３时,f′(x)＝０, 所以当x∈R时,f′(x)≥０,即f(x)在R上单调递增． 又f(３)＝０,所以f(x)＞０的解集为(３,＋∞)． (２)证明:当a＝１时,g(x)＝ex＋cosx,故g′(x)＝ex－ sinx． 由x＞０得ex＞１,sinx∈[－１,１], 则g′(x)＝ex －sinx＞０,即g(x)在(０,＋∞)上单调 递增． 故g(x)＞g(０)＝２,即g(x)＞２． (３)解:由(１)知, 当x≥３时,f(x)≥０恒成立,故h(x)≥０恒成立; 当x＜３时,f(x)＜０,因为h(x)＝max{f(x),g(x)},要 使得h(x)≥０恒成立, 只要g(x)≥０在(０,３)上恒成立即可． 由g(x)＝aex＋cosx≥０,得a≥－cosxex ． 设函数r(x)＝－cosx ex ,x∈(０,３), 则r′(x)＝sinx＋cosx ex , 令r′(x)＝０,得x＝３π４． 随着x变化,r′(x)与r(x)的变化情况如下表所示． x ０,３π４( ) ３π ４ ３π ４ ,３( ) r′(x) ＋ ０ － r(x) ↗ 极大值 ↘ 所以r(x)在 ０,３π４( ) 上 单 调 递 增,在 ３π ４ ,３( ) 上 单 调 递减． r(x)在 (０,３)上 有 唯 一 的 一 个 极 大 值,即r ３π４( ) ＝ ２ ２e －３π４ ,故a≥ ２２e －３π４ ． 综上所述,所求实数a的取值范围为 [ ２２e －３π４ ,＋∞ ) ． [高考衍生练] １．解:(１)当a＝－３时,f(x)＝lnx－３x －４x＋３ ,f(x)的 定义域为(０,＋∞), f′(x)＝ １x ＋ ３ x２ －４＝x＋３－４x ２ x２ ＝－ (４x＋３)(x－１) x２ , 注意到４x＋３＞０． 故当０＜x＜１时,f′(x)＞０,f(x)单调递增; 当x＞１时,f′(x)＜０,f(x)单调递减． ∴f(x)的单调递增区间为(０,１),单调递减区间为(１, ＋∞)． ∴f(x)在x＝１处取得极大值且极大值为f(１)＝－４, 无极小值． (２)对任意x＞１,不等式lnx＋ax －a＋１＞ １－x x 恒成立 ⇔xlnx＋a－ax＋x＞１－x恒成立, 变形有xlnx＋２x－１＞a(x－１)． ∵x＞１,即a＜xlnx＋２x－１x－１ 在(１,＋∞)上恒成立． 设h(