第1章 2.1 圆的标准方程（作业）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【精讲精练】北师大版

[基础巩固] 1．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为(　　) A．x2＋(y－4)2＝20　 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x＋2)2＋y2＝20 解析　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)．因为|AB|＝＝2，所以，①以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20；②以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.故选A． 答案　A 2．若经过点P(5m＋1,12m)可以作出圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，则实数m的取值可能是(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　过P可作圆的两条切线，说明点P在圆的外部，所以(5m＋1－1)2＋(12m)2＞1，解得m＞或m＜－，对照选项知AD符合．故选D． 答案　D 3．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是(　　) A．x2＋(y＋1)2＝1 B．x2＋y2＝1 C．(x＋1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 解析　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)， 则(1,0)关于y＝－x对称的点为(0，－1)， 故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.故选A． 答案　A 4．如果圆(x－m)2＋(y－2m)2＝r2关于直线x＋y－3＝0对称，则圆的圆心坐标为________． 解析　圆的圆心为(m,2m)，由题意，圆心在直线上，即m＋2m－3＝0，解得m＝1，所以圆心坐标为(1,2)． 答案　(1,2) 5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时经过圆C1和圆C2的圆心，则圆C的方程是________． 解析　由圆的性质可知，线段C1C2的垂直平分线过圆心，线段C1C2的中点坐标为，即(5,1)， 直线C1C2的斜率k＝＝－7，所以线段C1C2的垂直平分线方程为y－1＝(x－5)， 令y＝0得x＝－2，即圆心C的坐标为(－2,0)， 其半径r＝＝10， 所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝100. 答案　(x＋2)2＋y2＝100 6．已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程． 解析　要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|中的中间值． 由于|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝＝5， 即|PA|＜|PB|＜|PC|， 所以圆的半径r＝|PB|＝. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13. [能力提升] 7．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　) A．2，(4－) B．(4＋)，(4－) C．，4－ D．(＋2)，(－2) 解析　点A(－1,0)，B(0,2)所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又AB＝，所以△PAB面积的最大值为××＝(4＋)，最小值为××＝(4－)，选B． 答案　B 8．(2022·新高考全国卷Ⅱ)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 解析　因为kAB＝，所以AB关于直线y＝a的对称直线为(3－a)x－2y＋2a＝0， 所以≤1，整理可得12a2－22a＋6≤0，解得≤a≤. 答案　 9．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l距离的最小值为________． 解析　由圆C的方程知圆心C的坐标为(1,1)，半径r＝，点C到直线l的距离为＝2.所以圆C上各点到l距离的最小值为2－＝. 答案　 10．已知圆C过点A(1,2)和B(1,10)且圆心C到直线x－2y－1＝0的距离与半径长相等．求圆C的方程． 解析　圆心在线段AB的垂直平分线y＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝r2.将点(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2.① 而r＝，代入①， 得(a－1)2＋16＝， 解得a＝3，r＝2，或a＝－7，r＝4. 故圆C的方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80. [探索创新] 11．已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是________． 解析　y＝表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的