第1章 2.1 圆的标准方程-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修 第一册作业与测评word（北师大版2019）

§2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 知识点一　圆的标准方程 1．已知一圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，则此圆的圆心坐标与半径分别为(　　) A．(1，0)，4 B．(－1，0)，2 C．(0，1)，4 D．(0，－1)，2 答案　D 解析　由圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝8，知圆心坐标为(0，－1)，半径为2.故选D. 2．方程(x－1)＝0所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．一个圆和两条射线 C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆 答案　B 解析　(x－1)＝0可化为或x2＋y2＝3，因此该方程表示一个圆和两条射线． 知识点二　点与圆的位置关系 3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，1) B．(0，1) C. D. 答案　A 解析　因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1<a<1.故选A. 4．若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，5) C．(0，5) D．[0，5] 答案　C 解析　由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，∴0<m<5.故选C. 知识点三　求圆的标准方程 5．若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________． 答案　x2＋(y－1)2＝1 解析　由点(1，0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0，1)，得所求圆的圆心为(0，1)，又圆C的半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1. 6．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的标准方程为________． 答案　(x＋2)2＋＝ 解析　不妨设直线3x－4y＋12＝0与x轴和y轴的交点分别为A，B，令y＝0，得x＝－4，即A(－4，0)；再令x＝0，得y＝3，即B(0，3)，从而线段AB的中点为，且为所求圆的圆心，又因为|AB|＝＝5，所以所求圆的半径为，从而以线段AB为直径的圆的标准方程为(x＋2)2＋＝. 7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，求圆C的标准方程． 解　设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)， 由题意知，＝， 解得a＝2，∴C(2，0)， 则圆C的半径为 r＝|CM|＝＝3. ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9. 8．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且经过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程． 解　解法一：设点C为圆心， ∵点C在直线x－2y－3＝0上， ∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)． ∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|， 即 ＝， 解得a＝－2， ∴圆心坐标为(－1，－2)，半径为r＝. 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 解法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题设条件知 解得 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 解法三：∵线段AB的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB的斜率kAB＝＝， ∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2， ∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x， 即y＝－2x－4. 又圆心是直线y＝－2x－4与直线x－2y－3＝0的交点， 由得 ∴圆心坐标为(－1，－2)， ∴圆的半径为 r＝＝， 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 9．在平面直角坐标系xOy中，已知四点A(0，1)，B(0，3)，C(3，0)，D(1，4)，这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的标准方程；如果不是，请说明理由． 解　设经过A，C，D三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以 解得a＝2，b＝2，r2＝5. 所以经过A，C，D三点的圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5. 由于(0－2)2＋(3－2)2＝5，故点B也在这个圆上， 因此，四点A(0，1)，B(0，3)，C(3，0)，D(1，4)都在圆(x－2)2＋(y－2)2＝5上． 一、选择题 1．点(sin30°，cos30°)与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　) A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．不能确定 答案　C 解析　∵sin230°＋cos230°＝1>，∴点(sin30°，cos30°)在圆外． 2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1 D．(x＋1)2＋(