第1章 §3.2 第1课时 基本不等式（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

[基础巩固] 1．已知0＜x＜1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为(　　) A.　　　　　 　 　 B. C. D. 解析　∵0＜x＜1，∴1－x＞0，∴x(1－x)≤2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立． 答案　B 2．(多选题)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的关系是(　　) A．x＞y B．x＜y C．x＞y D．y＜x 解析　x2＝＜＝a＋b，y2＝a＋b，∴x2＜y2,2x2＞y2，∵x＞0，y＞0，∴x＜y. 答案　BD 3．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如下图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　) A.≤(a＞0，b＞0) B.＜(a＞0，b＞0，a≠b) C.≤(a＞0，b＞0) D.＜＜(a＞0，b＞0，a≠b) 解析　由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝，易得DC＝＝，DE＝＝，∵DE＜DC＜DO，∴＜＜(a＞0，b＞0，a≠b)．故选D. 答案　D 4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________． ①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab 解析　根据≥xy，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 答案　③ 5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 解析　用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2， 则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． ∴1＋x＝≤＝1＋， ∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立． 答案　x≤ 6．已知a，b为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4. 证明　＋＝＋＝1＋＋＋1 ＝2＋＋≥2＋2 ＝4. 当且仅当a＝b时“等号”成立． [能力提升] 7．(多选题)已知a＞0，b＞0，则下列不等式关系正确的是(　　) A．ab≤2 B．ab≤ C.≥ D.≤2 解析　由基本不等式知A，C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤2， ∴≥2，故选ABC. 答案　ABC 8．(多选题)(2021·山东日照高一期末)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a2＋b2≥8 B.≥ C.≥2 D.＋≤1 解析　a2＋b2≥＝8，当且仅当a＝b＝2时取等号，A正确；a＋b＝4≥2，即ab≤4，即≥，当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确，C错误，＋＝＝≥1，D错误． 答案　AB 9．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y＝x2－300x＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为________吨． 解析　设每吨的平均处理成本为s元， 由题意可得s＝＝＝＋－300，其中300≤x≤600. 由基本不等式可得 ＋－300≥2－300＝400－300＝100， 当且仅当＝，即x＝400时，每吨的平均处理成本最低． 答案　400 10．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋. 证明　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴≥，≥，≥，∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立， ∴a＋b＋c＞＋＋. [探索创新] 11．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1.求证：a＋b＋c＜＋＋. 证明　因为a，b，c都是正实数，且abc＝1， 所以＋≥＝2c，＋≥＝2a，＋≥＝2b， 以上三个不等式相加，得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c， 因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都同时成立，所以a＋b＋c＜＋＋. 学科网（北京）股份有限公司 $