第1章 §1.1 集合的概念与表示（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【精讲精练】北师大版

[基础巩固] 1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于(　　) A．4　　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．1 解析　由题设可知3≠4，∴m＋1＝4，∴m＝3. 答案　B 2．(多选题)下面四个说法中错误的是(　　) A．10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7} B．由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2} C．方程x2－2x＋1＝0的解集是{1,1} D．0与{0}表示同一个集合 解析　10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}，故A正确；由集合中元素的互异性知{1,2,3}和{3,1,2}相等，故B正确；方程x2－2x＋1＝0的解集应为{1}，故C错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D错误．故选CD. 答案　CD 3．集合{x∈N＋|x－3＜2}用列举法可表示为(　　) A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 解析　∵x－3＜2，∴x＜5，又∵x∈N＋， ∴x＝1,2,3,4. 答案　B 4．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“∉”) 解析　∵a是偶数，b是奇数，∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A. 答案　∉　∈ 5．已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________． 解析　∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1. 当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意．当a2－1＝0时a＝±1， a＝－1(舍)，∴a＝1.此时，A＝{2,0}，符合题意． 答案　1 6．用适当的方法表示下列集合． (1)不大于10的非负奇数集； (2)A＝； (3){x|x＝|x|，x∈Z且x＜5}； (4){x|(3x－5)(x＋2)(x2＋3)＝0，x∈Z}； (5)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合． 解析　(1)不大于10，即小于或等于10，非负是大于或等于0，故不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}． (2)由式子可知4－x的值为1,2,3,6，从而可以得到x的值为3,2,1，－2， 所以A＝{－2,1,2,3}． (3)∵x＝|x|，∴x≥0. ∵x∈Z且x＜5，∴{x|x＝|x|，x∈Z且x＜5}还可表示为{0,1,2,3,4}． (4){－2}．(特别注意x∈Z这一约束条件) (5)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|， 所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}． [能力提升] 7．(多选题)已知集合A＝{x|x≤2，x∈R}，a＝，b＝2，则(　　) A．a∈A B．a∉A C．b∈A D．b∉A 解析　由＞＝2，可得a∉A；由2＜2，可得b∈A.故选BC. 答案　BC 8．(多选题)A＝{2,4,6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a可以是(　　) A．2 B．4 C．6 D．0 解析　若a＝2，则6－a＝6－2＝4∈A，符合要求； 若a＝4，则6－a＝6－4＝2∈A，符合要求； 若a＝6，则6－a＝6－6＝0∉A，不符合要求． ∴a＝2或a＝4. 答案　AB 9．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中的所有元素之和为________． 解析　依题意，A*B＝{0,2,4}，其所有元素之和为6. 答案　6 10．集合A＝{－4,2a－1，a2}，集合B＝{9，a－5，1－a}，若9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由． 解析　∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9， 若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去． 若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去． 当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3. [探索创新] 11．设实数集S是满足下面两个条件的集合： ①1∉S；②若a∈S，则∈S. (1)求证：若a∈S，则1－∈S； (2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个数，试求出这两个数． 解析　(1)证明　由a∈S，则∈S，可得∈S. 即＝＝1－∈S. 故若a∈S，则1－∈S. (2)由2∈S，则＝－1∈S， 由－1∈S，得＝∈S. 而当∈S，得＝2∈S， 又回到了开始，因此当2