1.1.1空间向量及其线性运算-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1 空间向量及其线性运算 复习引入 章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始. 新知探索 与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母表示.空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示. 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.如图，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作其模记为或.图所示的正方体中，过同一个顶点的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为，,,它们是不共面的向量，即它们是不在任何一个平面内的三个向量. 新知探索 与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，记为.当有向线段的起点与终点重合时，.模为1的向量叫做单位向量.与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，即为. 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有. 新知探索 方向相同且模相等的向量叫做相等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.如图，已知空间向量，以任意点为起点,作向量，，我们就可以把它们平移到同一个平面内. 新知探索 数学中，引入一种量后，一个很自然的问题就要研究它们的运算.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法（如图）以及数乘运算（如图）： (1) (2) (3)当时， 当时