专题二 不等式恒成立、能成立问题-2022-2023学年高一数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019必修第一册）

强化专题2　不等式恒成立、能成立问题 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 【技巧目录】 一、“Δ”法解决恒成立问题 二、数形结合法解决恒成立问题 三、分离参数法解决恒成立问题 四、主参换位法解决恒成立问题 五、利用图象解决能成立问题 六、转化为函数的最值解决能成立问题 【例题详解】 一、“Δ”法解决恒成立问题 例1　若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【小结】(1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ (2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 二、数形结合法解决恒成立问题 例2　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围． 【小结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 三、分离参数法解决恒成立问题 例3　若不等式x2+ax+1≥0在x∈[－2，0）时恒成立，则实数a的最大值为（       ） A．0 B．2 C． D．3 【小结】通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题． 四、主参换位法解决恒成立问题 例4　已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________. 【小结】转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解． 五、利用图象解决能成立问题 例5　当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为________． 【小结】结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决． 六、转化为函数的最值解决能成立问题 例6　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 【小结】能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围． 【过关训练】 1．若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（       ） A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，1） D．[1，+∞） 2．若集合则实数的取值集合为（       ） A． B． C． D． 3．若，，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．“，”的充要条件是（       ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式对任意恒成立，则有（       ） A． B． C． D． 7．若对任意的恒成立，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 8．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 9．已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 10．若关于的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 11．已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 12．设函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为_____________. 13．已知关于的不等式． (1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围． 14．设， 若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； 19．设函数． (1)若对于，恒成立，求的取值范围； (2)若对于，恒成立，求的取值范围． 20．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围． ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 强化专题2　不等式恒成立、能成立问题 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 【技巧目录】 一、“Δ”法解决恒成立问题 二、数形结合法解决恒成立问题 三、分离参数法解决恒成立问题 四、主参换位法解决恒成立问题 五、利用图象解决能成立问题 六、转化为函数的最值解决能成立问题 【例题详解】 一、“Δ”法解决恒成立问题 例1　若关于的不等式恒成立，则实