专题一 基本不等式的应用技巧-2022-2023学年高一数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019必修第一册）

强化专题1　基本不等式的应用技巧 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 【技巧目录】 一、加项变换求最值 二、平方后使用基本不等式求最值 三、展开后求最值 四、常数代换法求最值 五、代换减元求最值 六、换元法求值 七、利用两次基本不等式求值 八、建立求解目标不等式求最值 【例题详解】 一、加项变换 例1　求函数的最小值. 例2　已知关于x的不等式x＋≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为________． 例3　已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 二、平方后使用基本不等式 例4　若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 三、展开后求最值 例5　若a，b是正数，则的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 四、常数代换法求最值 例6　若，都是正数，且，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C． D． 例7　已知正实数满足，则的最小值为（       ） A．6 B．8 C．10 D．12 例8　已知，求的最小值． 例9　已知正实数，且，则 的最小值是（       ） A． B． C． D． 五、代换减元求最值 例10　负实数、满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 例11　若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________． 例12　已知，则的最小值是（       ） A． B． C． D．2 六、换元法求值 例13　若实数满足，则的最小值为__________. 例14已知实数，满足，则的最小值为__________． 七、利用两次基本不等式求值 例15　已知a，b∈R，且，则的最小值是 _____． 例16　若，，则的最小值是（       ） A．16 B．18 C．20 D．22 八、建立求解目标不等式求最值 例17　已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________． 例18　已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是(　　) A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2 C．1<a＋b<4 D．a＋b>4 ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 强化专题1　基本不等式的应用技巧 在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用． 【技巧目录】 一、加项变换求最值 二、平方后使用基本不等式求最值 三、展开后求最值 四、常数代换法求最值 五、代换减元求最值 六、换元法求值 七、利用两次基本不等式求值 八、建立求解目标不等式求最值 【例题详解】 一、加项变换 例1　求函数的最小值. 【答案】5 【分析】式子化为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时取等号，此时取得最小值5. 例2　已知关于x的不等式x＋≥7在x>a上恒成立，则实数a的最小值为________． 【答案】5 【详解】∵x>a，∴x－a>0， ∴x＋＝(x－a)＋＋a≥2＋a， 当且仅当x＝a＋1时，等号成立， ∴2＋a≥7，即a≥5. 例3　已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】∵， , ∴， 当且仅当 时，即时等号成立， 因此，函数,的最大值为, 故选：C． 二、平方后使用基本不等式 例4　若x>0，y>0，且2x2＋＝8，则x的最大值为________． 【答案】 【详解】(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·2＝3×2. 当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立． 故x的最大值为. 三、展开后求最值 例5　若a，b是正数，则的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】∵a，b是正数， ∴＝1＋＋＋4＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9， 当且仅当b＝2a时取“＝”． 四、常数代换法求最值 例6　若，都是正数，且，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】将代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论． 【详解】若，都是正数，且 ， 当且仅当时等号成立， 故选：A. 例7　已知正实数满足，则的最小值为（       ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可. 【详解】因为，且为正实数 所以 ，当且仅当即时等号成立. 所以. 故选：B. 例8　已知，求的最小值．