4.3利用递推公式表示数列（第2课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

4.3利用递推公式表示数列（第2课时） 第 4 章 数列 沪教版2020选修第一册 01由递推公式求数列的指定项 03利用Sn与an的关系求通项公式 02由递推公式求通项公式 目录 04递推公式在实际问题中的应用 2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1，3，5，7； 解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是： 知识回顾 （2） 解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是： （3） 解：此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是： 6 问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1， 即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※） 你能写出这个数列的前三项吗？ 像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。 1．如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的____________与它的____________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的____________，如a1＝1，an＋1＝an＋2就是数列{an}的一个递推公式． 2．给出递推公式及初始值的数列，例如：an＋1＝an＋an－1，a1＝a2＝1，这样给出的数列是一个确定的数列，即____________也是给出数列的一种方法． 任一项an　 前一项an－1　 递推公式　 递推公式　 1.在数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.(　　) 2.利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}.(　　) 3.递推公式是表示数列的一种方法.(　　) 4.S2n表示数列{an}中所有偶数项的和. (　　) 思考辨析 判断正误 √ √ × × 1.由递推公式求 数列的指定项 一、由递推公式求数列的指定项 写出这个数列的前5项. 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可. (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式. (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式. 注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区. √ 练一练 √ 而2 020＝673×3＋1， 故a2 020＝a1＝2. 2.由递推公式 求通项公式 二、由递推公式求通项公式 √ 解析　方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为 又a1＝1， a1＝1， … 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； ③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决. 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 练一练 (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 解　因为ln an－ln an－1＝1， ＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N*. [分析]　由首项及递推关系写出前5项，再观察前5项的规律， 写出一个通项公式． 练一练3. 4.在数列{an}中，a1＝1,4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N＋)， 写出它的前4项并归纳出用n表示an的式子． 例3　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an. 三、利用Sn与an的关系求通项公式 解　因为Sn＝2n2－30n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32，n∈N*. 延伸探究　 将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”， 其他条件不变，求an. 解　因为Sn＝2n2－30n＋1， 所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.