第16讲 数列的概念与性质及利用递推公式表示数列（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（沪教版2020选修第一册）

第16讲数列的概念与性质及利用递推公式表示数列 (核心考点讲与练) 一、数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列 二、数列的表示方法 解析法、图像法、列举法、递推法. 三、数列的分类 有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列； 1. 有穷数列:项数有限. 2. 无穷数列：项数无限. 3. 递增数列:对于任何,均有. 4. 递减数列:对于任何,均有. 5. 摆动数列:例如: -1,1,-1,1,-1,1, ……. 6. 常数数列:例如:6,6,6,6,……. 四、数列的通项公式 定义：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，….； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 ，也可以是. 1、 数列的概念与性质 【例1】（2020·上海·高二课时练习）有下列命题： ①数列1，2，3与数列3，2，1是两个不同的数列； ②用集合中的所有元素只能构造出6个不同的数列； ③集合可以表示由正偶数按从小到大的次序排列所得到的数列 其中假命题有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】 根据数列的概念即可判断各命题的真假． 【详解】 按照数列的概念可知，按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列1，2，3与数列3，2，1顺序不同，所以①正确； 用集合中的所有元素能构造出无数个不同的数列，比如，；； ；；；；，，所以②错误； 因为集合中的元素是无序的，所以不能表示由正偶数按从小到大的次序排列所得到的数列，③错误． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查数列的概念的理解，属于基础题． 【例2】（2020·上海·高二课时练习）已知数列满足，若要使为k项的有穷数列，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 只需时分母有为0即可得解. 【详解】 若要使为k项的有穷数列，则时，解得. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了数列的通项公式，数列分母不为0是解题的关键，属于基础题. 【例3】（2020·上海·高二课时练习）下列四个命题： ①任何数列都有通项公式； ②给定了一个数列的通项公式就给定了这个数列； ③给出了数列的有限项就可唯一确定这个数列的通项公式； ④数列的通项公式是项数n的函数 其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 根据数列的表示方法以及数列的通项公式的定义即可判断各命题的真假． 【详解】 对①，根据数列的表示方法可知，不是任何数列都有通项公式，比如：的近似值构成的数列，就没有通项公式，所以①错误； 对②，根据数列的表示方法可知，②正确； 对③，给出了数列的有限项，数列的通项公式形式不一定唯一，比如：， 其通项公式既可以写成，也可以写成，③错误； 对④，根据数列通项公式的概念可知，④正确． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查数列的表示方法以及数列的通项公式的定义的理解，属于基础题． 【例4】（2021·上海·复旦附中高二期末）已知数列的通项公式为，是数列的最小项，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可 【详解】 解：由题意可得， 整理得， 当时，不等式化简为恒成立，所以， 当时，不等式化简为恒成立，所以， 综上，， 所以实数的取值范围是， 故选：D 【例5】（2020·上海·高二课时练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 根据题意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有，据此有：，综上可得2<a<3. 本题选择D选项. 【例6】（2020·上海·高二课时练习）数列满足，则的最大值为_____. 【答案】26 【分析】 由题可知当时，为递增数列，可求出其最大值，当时，为递减数列，也可求出其最大值，从而可求出的最大值 【详解】 当且时，由通项公式可知，数列递增，此时最大值为； 当且时，由通项公式可知，数列递减，最大值为. 综上可知，当时，最大值为26. 故答案为：26 【点睛】 此题考查由数列的通项公式求数列的最大项，考查数列的单调性，属于基础题. 【例7】（2020·上海·高二课时练习）已知数列的通项公式为，那么是这数列的第_____项. 【答案】9 【分析】 令，求出即可得到所求答案. 【详解】 解：令，即，解得或(舍去)， 则是这数列的第9项， 故答案为: 9. 【点睛】 本题考查了数列的通项公式. 【例8】（2021·上海·曹杨二中高二阶段练习）已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是___