3.1.2 函数的单调性-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【新课程同步训练】学习手册（人教B版）

参 考 答 案 提升练习 11. C 【解析】 令 t＝ 1-x 1+x ， 解得 x＝ 1-t 1+t ， 代入 f 1-x 1+x x " ＝x ， 可得 f （ t ） ＝ 1-t 1+t ， ∴ f （ x ） ＝ 1-x 1+x . 故选 C. 12. x 2 -x＋1 【解析】 ∵f （ x ）是二次函数， 设 f （ x ） ＝ax 2 ＋bx＋c （ a≠0 ）， 由 f （ 0 ） ＝1 ， 得 c＝1. 由 f （ x＋1 ） -f （ x ） ＝2x ， 得 a （ x＋1 ） 2 ＋b （ x＋1 ） ＋1-ax 2 -bx-1＝ 2x. 整理得 2ax＋ （ a＋b ） ＝2x ， 由系数相等得 2a＝2 ， a＋b＝0 0 ， ∴ a＝1 ， b＝-1 0 . ∴ f （ x ） ＝x 2 -x＋1. 13. - 3 4 【解析】 当 a>0 时， f （ 1-a ） =2 （ 1-a ） +a=2-a ， f （ 1+a ） =- （ 1+a ） -2a=-3a-1. ∵f （ 1-a ） =f （ 1+a ）， ∴2-a=-3a-1 ， 解得 a=- 3 2 （舍去） . 当 a<0 时， f （ 1-a ） =- （ 1-a ） -2a=-a-1 ， f （ 1+a ） =2 （ 1+ a ） +a=2+3a. ∵f （ 1-a ） =f （ 1+a ）， ∴-a-1=2+3a ， 解得 a=- 3 4 . 综上， a 的值为 - 3 4 . 14. 2 【解析 】 由 f （ x ） ＝x 2 ＋4x＋3 ， f （ ax＋b ） ＝x 2 ＋10x＋ 24 ， 得 （ ax＋b ） 2 ＋4 （ ax＋b ） ＋3＝x 2 ＋10x＋24 ， 即 a 2 x 2 ＋ （ 2ab＋ 4a ） x＋b 2 ＋4b＋3＝x 2 ＋10x＋24 ， 由系数相等得 a 2 ＝1 ， 2ab＋4a＝10 ， b 2 ＋4b＋3＝24 4 ' ' ' & ' ' ' ( ， 解得 a＝-1 ， b＝- 0 7 或 a＝1 ， b＝3 0 ， 则 5a-b＝2. 15. 解： ∵x 0 ∈A ， ∴0≤x 0 < 1 2 ， 且 f （ x 0 ） ＝x 0 ＋ 1 2 ， 又 1 2 ≤x 0 ＋ 1 2 <1 ， ∴x 0 ＋ 1 2 ∈B ， ∴ f （ f （ x 0 ）） ＝2 1-x 0 - 1 2 x " ＝2 1 2 -x 0 x " ， 又 f （ f （ x 0 ）） ∈A ， ∴0≤2 1 2 -x 0 x " < 1 2 ， 解得 1 4 ＜x 0 ≤ 1 2 ， 又 0≤x 0 ＜ 1 2 ， ∴ 1 4 <x 0 < 1 2 . 3.1.2 函数的单调性 第 1 课时 函数的单调性及函数的平均变化率 学习手册 变式训练 1 解： 当 a＞0 时， 函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递增， 当 a＜0 时， 函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递减 . 证明如下 ： 当 a＞0 时 ， 坌x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， 1 ）， 且 x 1 < x 2 ， 则 f （ x 2 ） -f （ x 1 ） = ax 2 1+x 2 2 - ax 1 1+x 2 1 = a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ， ∵-1＜x 1 ＜x 2 ＜1 ， ∴-1＜x 1 x 2 ＜1 ， 1-x 1 x 2 ＞0 ， （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ＞0 ， x 2 -x 1 ＞0 ， ∴ a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） >0 ， 即 f （ x 1 ） ＜f （ x 2 ）， 故函数 f （ x ）在 （ -1 ， 1 ） 上单调递增； 当 a＜0 时， 坌x 1 ， x 2 ∈ （ -1 ， 1 ）， 且 x 1 <x 2 ， 则 f （ x 2 ） -f （ x 1 ） = ax 2 1+x 2 2 - ax 1 1+x 2 1 = a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ， ∵-1＜x 1 ＜x 2 ＜1 ， ∴-1＜x 1 x 2 ＜1 ， 1-x 1 x 2 ＞0 ， （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） ＞0 ， x 2 -x 1 ＞0 ， ∴ a （ x 2 -x 1 ）（ 1-x 1 x 2 ） （ 1+x 2 1 ）（ 1+x 2 2 ） <0 ， 即 f （ x 1 ） ＞f （ x 2 ）， 故函数 f （ x ）