2.2.3 一元二次不等式的解法-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【新课程同步训练】学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 15. 解： ∵x∈ （ 0 ， 1 ）， ∴ 原不等式可化为 ｜ax-1｜<x+ 1 ， ∴-x-1<ax-1<x+1 ， ∴ a<1+ 2 x ， a>-1 1 $ $ $ # $ $ $ % ， 对任意 x∈ （ 0 ， 1 ） 恒 成立， ∵1+ 2 x >1+2=3 ， ∴-1<a≤3. 2.2.3 一元二次不等式的解法 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 原不等式可化为 2x 2 -3x-2<0 ， 即 （ 2x+1 ）（ x- 2 ） <0 ， 故原不等式的解集是 x - 1 2 <x<2 2 ( . （ 2 ） 原不等式可化为 2x 2 -x-1≥0 ， 即（ 2x+1 ）（ x-1 ） ≥ 0 ， 故原不等式的解集为 x x≤- 1 2 或 x≥1 2 1 . （ 3 ） ∵Δ= （ -2 ） 2 -4×3=-8<0 ， 故原不等式的解集为 R. 变式训练 2 D 【解析 】 由题意可知， -2 ， 3 是方程 2x 2 +mx+n=0 的两个根， ∴-2+3=- m 2 ， -2×3= n 2 ， ∴m=-2 ， n=-12. 故选 D. 变式训练 3 解： Δ=k 2 +8k=k （ k+8 ） . 当 Δ>0 ， 即 k<-8 或 k>0 时， 方 程 2x 2 +kx-k=0 有两个不相等的实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx- k≤0 的解集为 x -k- k （ k+8 ） 姨 4 ≤x≤ -k+ k （ k+8 ） 姨 4 4 1 . 当 Δ=0 ， 即 k=-8 或 k=0 时， 方程 2x 2 +kx-k=0 有两个相等 的实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 - k 4 2 1 . 即若 k=-8 时， 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 {2} ； 若 k=0 时， 不等式 2x 2 +kx-k≤0 的解集为 {0} . 当 Δ<0 时， 即 -8<k< 0 时， 方程 2x 2 +kx-k=0 无实数根， ∴ 不等式 2x 2 +kx-k≤ 0 的解集为 芰. 变式训练 4 解： （ 1 ） 由 2x+1 3-x >0 ， 得 2x+1 x-3 <0 ， 此不等式等价 于（ 2x+1 ）（ x-3 ） <0 ， ∴ 原不等式的解集为 x - 1 2 <x<3 2 1 . （ 2 ） 由 x-4 3-x ≥1 可知， 移项得 x-4 3-x -1≥0. 通分并整 理， 得 2x-7 3-x ≥0. ∴ （ 2x-7 ）（ 3-x ） ≥0 ， 3-x≠0 4 ， 解得 3<x≤ 7 2 . ∴ 原不等式的解集为 x 3<x≤ 7 2 4 1 . 变式训练 5 C 【解析】 由题意可知， 产量为 x 台时， 总售价为 25x 万元 . 欲使生产者不亏本， 必须满足总售价大于或等 于总成本， 即 25x≥3 000+20x-0.1x 2 ， 即 0.1x 2 +5x-3 000≥0. 整理得 x 2 +50x-30 000≥0 ， 解得 x≥150 或 x≤-200 （不 合题意， 舍去） . 故使生产者不亏本的最低产量是 150 台 . 故选 C. 变式训练 6 解： 由已知得 m-1>0 ， Δ=5-4m≤0 4 ， 解得 m∈ 5 4 ， + + ∞ 0 . 随堂练习 1. A 【解析 】 由不等式 2-x x-1 ≥1 可化为 2-x x-1 -1≥0 ， 得 -2x+3 x-1 ≥0 ， 此不等式等价于 x-1≠0 ， （ 2x-3 ）（ x-1 ） ≤0 4 ， 解得 1<x≤ 3 2 ， 故原不等式的解集为 1 ， 3 2 22 . 故选 A. 2. D 【解析】 当 a>1 时， 1-a<0 ， 且 a> 1 a ， 则关于 x 的不等式（ 1-a ）（ x-a ） x- 1 a 2 + <0 可化为（ x-a ） x- 1 a 2 + >0 ， 解得 x< 1 a 或 x>a ， ∴ 不等式的解集为 -∞ ， 1 a 2 + ∪ （ a ， +∞ ） . 故选 D. 3. ABC 【解析】 将不等式 -x 2 +7x>6 化为 x 2 -7x+6<0 ， 解得 1<x<6 ， ∴-x 2 +7x>6 的解集是 {x｜1<x<6} ， 故 A 正确； 不等式（ 2-x ）（ x+3 ） <0 ， 解得 x<-3 或 x>2 ， ∴ （ 2-x ）（ x+3 ） < 0 的解集是 {x｜x<-3 或 x>2} ， 故 B 正确； 将不等式 4 （ 2x 2 - 2x+1 ） >x （ 4-x ）， 化简为 9x 2 -12x+4>0 ， 即（ 3x-2 ） 2 >0 ， 解得 x≠