2.1.3 方程组的解集-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【新课程同步训练】学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 -44± 1 908 姨 14 ＝ -22±3 53 姨 7 . 7. 21 4 【解析 】 由题意知 Δ=25-4a≥0 ， 且 x 1 ＋x 2 ＝5 ， x 1 x 2 ＝a. ∵x 2 1 -x 2 2 ＝ （ x 1 ＋x 2 ）（ x 1 -x 2 ） ＝10 ， ∴x 1 -x 2 ＝2 ， ∴ （ x 1 -x 2 ） 2 ＝ （ x 1 ＋x 2 ） 2 -4x 1 x 2 ＝25-4a＝4 ， ∴a＝ 21 4 . 8. 3 【解析】 由题意知 n≠0 ， 则 1＋ 2 n - 1 n 2 ＝0 ， 即 1 n 2 - 2 n -1＝0. 又 m 2 -2m-1＝0 ， 且 mn≠1 ， 即 m≠ 1 n ， 故 m ， 1 n 是 方 程 x 2 -2x -1 ＝0 的 两 个 根 ， 则 m ＋ 1 n ＝2. 故 mn+n+1 n ＝m＋1＋ 1 n ＝2＋1＝3. 9. -3 或 9 【解析 】 设 x 1 ， x 2 为方程的两个根 ， 则 x 1 +x 2 = k+1 2 ， x 1 x 2 = k+3 2 2 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， |x 1 -x 2 |＝1 ， k+1 2 2 * 2 -2 （ k＋3 ） ＝1 ， 解得 k＝9 或 k＝-3. 检验当 k＝9 或 k＝-3 时， Δ＞0 成立 . 10. 解： （ 1 ） 关于 x 的方程 x 2 + （ 2k-1 ） x+k 2 -1=0 有 两个实数根 x 1 ， x 2 ， Δ= （ 2k-1 ） 2 -4 （ k 2 -1 ） =-4k+5≥0 ， 解 得 k≤ 5 4 ， ∴ 实数 k 的取值范围为 k≤ 5 4 . （ 2 ） 关于 x 的方程 x 2 + （ 2k-1 ） x+k 2 -1=0 有两个实数 根 x 1 ， x 2 ， x 1 +x 2 =1-2k ， x 1 x 2 =k 2 -1. ∵x 2 1 +x 2 2 = （ x 1 +x 2 ） 2 -2x 1 x 2 =16+x 1 x 2 ， ∴ （ 1-2k ） 2 -2 （ k 2 -1 ） =16+ （ k 2 -1 ）， 即 k 2 -4k-12=0 ， 解得 k=-2 或 k=6 （舍去） . ∴ 实数 k 的值为 -2. 提升练习 11. C 【解析】 由题意可知有两根且两根不为 0 ， 设 为 x 1 ， x 2 ， 则 1 x 1 + 1 x 2 =0 ， ∴x 1 +x 2 =0. 又 ∵x 1 +x 2 =2 （ m 2 -1 ） =0 ， 故 m=±1. 当 m=-1 时， 方程为 x 2 +3=0 无实根， 舍去； 当 m=1 时， 方程为 x 2 -3=0 合题意， 故选 C. 12. ABC 【解析 】 方程有一个正根一个负根 ， 则 Δ= （ m-3 ） 2 -4m>0 ， f （ 0 ） <0 0 ， 即 m<0 ， 同时 m<0 时方程有一个正根 一个负根， 故 m<0 是方程有一个正根一个负根的充要条件， 故 A 正确； 方程有两个正根， 则 Δ= （ m-3 ） 2 -4m≥0 ， - b 2a = 3-m 2 >0 ， f （ 0 ） >0 2 ' ' ' ' ' & ' ' ' ' ' ( ， 即 0<m≤1 ， 同时 0<m≤1 时方程有两个正根， 故 0<m≤1 是方程有两个正根的充要条件， 故 B 正确； 方程无实 根， 则 Δ= （ m-3 ） 2 -4m<0 ， 即 1<m<9 ， 而 m>1 时方程可 能无实根也可能有实根， 故 m>1 是方程无实根的必要条 件， 故 C 正确； m=3 时知方程 x 2 +3=0 无实根 . 故选 ABC. 13. BD 【解析】 ∵Δ=2 2 -4×2× （ -1 ） =12>0 ， ∴ 方程有 两不相等实根 . 由根与系数的关系得， x 1 +x 2 =-1 ， x 1 x 2 = - 1 2 ， ∴A 选项错误 ， B 选项正确 . ∵x 1 x 2 <0 ， ∴x 1 ， x 2 异 号 . 又 ∵x 1 +x 2 <0 ， x 1 <x 2 ， ∴｜x 1 ｜>｜x 2 ｜ ， ∴C 选项错误 . ∵x 1 为 一元二次方程 2x 2 +2x-1=0 的根， ∴2x 2 1 +2x 1 -1=0 ， ∴x 2 1 +x 1 = 1 2 ， ∴D 选项正确 . 故选 BD. 14. x 2 -14x-1=0 【解析】 由根与系数的关系得 a+b= 2 ， ab=-1 ， ∴a 3 b 3 = （ ab ） 3 =-1. 又 ∵a 3 +b 3 = （ a+b ）（ a 2 -ab+b