2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【新课程同步训练】学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 掌握求一元二次方程解集的三种常用 方法， 十字相乘法、 配方法、 公式法 . 2. 掌握一元二次方程的判别式， 并会用 其判断根的个数 . 3. 掌握一元二次方程的根与系数的关 系， 并会用其求一些关于方程两根的代数式 的值 . 4. 理解换元法解一元二次方程的思想， 体会数学学习过程中化繁为简解决问题的基 本方法 . 5. 通过对一元二次方程实根个数的讨 论， 进一步深入理解分类讨论的数学思想， 提升逻辑推理的数学素养 . 要 点 精 析 要点 1 Δ=b 2 -4ac 的取值与根的个数间 的关系 例 1 已知关于 x 的一元二次方程 3x 2 - 2x＋k＝0 ， 根据下列条件， 分别求出 k 的取值 范围 . （ 1 ） 方程有两个不相等的实数根； （ 2 ） 方程有两个相等的实数根； （ 3 ） 方程有实数根； （ 4 ） 方程无实数根 . 解： Δ＝ （ -2 ） 2 -4×3k＝4 （ 1-3k ） . （ 1 ） ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴Δ>0 ， 即 4 （ 1-3k ） >0 ， ∴k< 1 3 . （ 2 ） ∵ 方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0 ， 即 4 （ 1-3k ） ＝0 ， ∴k＝ 1 3 . （ 3 ） ∵ 方程有实根， ∴Δ≥0 ， 即 4 （ 1-3k ） ≥0 ， ∴k≤ 1 3 . （ 4 ） ∵ 方程无实根， ∴Δ<0 ， 即 4 （ 1-3k ） <0 ， ∴k> 1 3 . 变式训练 1 关于 x 的一元二次方程 x 2 - （ k+4 ） x+k=0 的解集的情况是 （ ） A. 含有 1 个元素 B. 含有 2 个元素 C. 芰 D. 不能确定 例 2 若关于 x 的不等式 x- a 2 <1 的解 集为 {x｜x<1} ， 试判断关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ax＋1＝0 的根的情况 . 分析 先求出 a 再判断根的个数 . （ 1 ） 解一元一次不等式， 利用解集求 a. 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 Δ=b 2 －4ac 根的情况 Δ>0 方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 （ a≠0 ） 有两个不相 等的实数根 ， 即 x 1 ＝ -b+ b 2 -4ac 姨 2a ， x 2 = -b- b 2 -4ac 姨 2a Δ＝0 方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 （ a≠0 ） 有两个相等 的实数根， 即 x 1 ＝x 2 ＝－ b 2a Δ<0 方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 （ a≠0 ） 无实数根 34 第二章 等式与不等式 学 （ 2 ） Δ＝a 2 -4 ， 利用 Δ>0 ， Δ＝0 ， Δ<0 的 情况讨论根的情况 . 解： 解不等式 x- a 2 <1 ， 得 x<1＋ a 2 ， 而 不等式 x- a 2 <1 的解集为 {x｜x<1} ， ∴1＋ a 2 ＝ 1 ， 解得 a＝0 ， ∴ 一元二次方程的根的判别 式 Δ＝a 2 -4＝-4<0 ， ∴ 关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ax＋1＝0 没有实数根 . 变式训练 2 若关于 x 的方程 kx 2 +2x-1=0 有两个不相 等的实数根， 则 k 的取值范围是 （ ） A. k>-1 B. k<-1 C. k≥-1 且 k≠0 D. k>-1 且 k≠0 例 3 若关于 x 的方程 x 2 ＋2x-m＋1＝0 没 有实数根 ， 试说明关于 x 的方程 x 2 ＋mx＋ 12m＝1 一定有实数根 . 解： ∵ 方程 x 2 ＋2x-m＋1＝0 没有实数根， ∴ 此方程的判别式 Δ＝2 2 -4×1× （ -m＋1 ） <0 ， 解 得 m<0. 而方程 x 2 ＋mx＋12m＝1 的根的判别式 Δ＝m 2 -4×1× （ 12m-1 ） ＝m 2 -48m＋4 ， ∵m<0 ， ∴m 2 >0 ， -48m>0. ∴m 2 -48m＋4>0 ， 即 Δ>0. ∴ 方程 x 2 ＋mx＋12m＝1 有两个不等的实数 根， 即一定有实数根 . 变式训练 3 集合 {x｜ （ a-2 ） x 2 +3x-1=0 ， x∈R} 有且仅 有两个子集， 则 a= . 要点 2 一元二次方程根与系数的关系 若 x 1 ， x 2 是一元二次方程 ax 2 ＋bx＋c＝0 （ a≠0 ） 的两个根， 则 x 1 ＋x 2 ＝- b a ， x 1 x 2 ＝ c a . 应用一元二次方程的根与系数的关系 时， 常有以下变形： （ 1 ） x 2 1 ＋x 2 2 ＝ （ x 2 1 ＋2x 1 x 2 ＋x 2 2 ） -2x 1 x 2 ＝ （ x 1 ＋x 2 ） 2 - 2x 1 x 2