1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【新课程同步训练】学习手册（人教B版）

第一章 集合与常用逻辑用语 学 学 习 目 标 1. 理解命题的否定的含义， 会写出给定 命题的否定， 并会判断其真假 . 2. 掌握全称量词命题与存在量词命题的 否定， 能够正确使用存在量词对全称量词命 题进行否定， 能够正确使用全称量词对存在 量词命题进行否定， 并会判断其真假 . 要 点 精 析 要点 1 命题的否定 一般地， 对命题 p 加以否定， 就得到一 个新的命题， 记作 “ 劭p ”， 读作 “非 p ” 或 “ p 的否定” . 注： 一个命题与它的否定真假相反 . 思考 如果一个命题是真命题， 它的 否定是真命题还是假命题？ 例 1 写出下列命题的否定， 并判断所 得命题的真假 . （ 1 ） 2 姨 是无理数； （ 2 ） 3 和 4 都是 15 的因数； （ 3 ） 若 m 2 +n 2 =0 ， 则实数 m ， n 全为零； （ 4 ） 至少有一个质数是偶数； （ 5 ） 能被 3 整除的数， 也能被 4 整除； （ 6 ） 三角形的两边之和大于第三边 . 分析 弄清楚命题是一般命题还是带 量词的命题， 一般的命题的否定是在条件 成立的前提下否定其结论， 带量词的命题， 在否定结论的同时， 要改变量词属性， 所 以命题的改写很关键 . 解： （ 1 ） 命题的否定： 2 姨 不是无理 数 . 是假命题 . （ 2 ） 命题的否定： 3 和 4 不都是 15 的因 数 . 是真命题 . （ 3 ） 命题的否定： 若 m 2 +n 2 =0 ， 则实数 m ， n 不全为零 . 是假命题 . （ 4 ） 命题的否定： 任意的质数都不是偶 数 . 是假命题 . （ 5 ） 命题的否定 ： 存在能被 3 整除的 数， 不能被 4 整除 . 是真命题 . （ 6 ） 命题的否定： 存在一个三角形， 它 的两边之和不大于第三边 . 是假命题 . 反思感悟 在判断命题或者命题的否定真假的时 候， 可以利用命题与其否定之间的真假关 系进行判断； 一个命题与它的否定真假相反 . 变式训练 1 （多选题） 下列命题的否定为真命题的 是 （ ） A. 若 x 2 -x-12=0 ， 则 x=4 B. 若 x 2 >5 ， 则 x> 5 姨 C. 在 △ABC 中， 若 AB<BC ， 则有 ∠ACB< ∠BAC D. 埚x∈R ， x 2 -x+1=0 要点 2 全称量词命题与存在量词命题 的否定 1. 存在量词命题的否定 一般地， 存在量词命题 “ 埚x∈M ， p （ x ）” 的否定是全称量词命题 “ 坌x∈M ， 劭p （ x ）” . 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 23 学 高 中 数 学 必 修 第一册 （人教 B 版） 精编版 思考 如果一个存在量词命题是真命 题， 它的否定是真命题还是假命题？ 2. 全称量词命题的否定 一般地， 全称量词命题 “ 坌x∈M ， q （ x ）” 的否定是全称量词命题 “ 埚x∈M ， 劭q （ x ）” . 思考 如果一个全称量词命题是真命 题， 它的否定是真命题还是假命题？ 例 2 （ 1 ） 命题 ： 埚n∈N ， n 2 >3n+5 ， 则该命题的否定为 （ ） A. 坌n∈N ， n 2 >3n+5 B. 坌n∈N ， n 2 ≤3n+5 C. 埚n∈N ， n 2 ≤3n+5 D. 埚n∈N ， n 2 <3n+5 （ 2 ） 命题 “ 坌x>0 ， x x-1 >0 ” 的否定是 （ ） A. 埚x<0 ， x x-1 ≤0 B. 埚x>0 ， 0≤x≤1 C. 坌x>0 ， x x-1 ≤0 D. 坌x<0 ， 0≤x≤1 分析 对于全称量词和存在量词命题 的否定， 先改量词， 再否结论 . 解析： （ 1 ） 坌n∈N ， n 2 ≤3n+5 ， 故选 B. （ 2 ） 对于 x x-1 >0 ， 解得 x<0 或 x>1 ， ∴ 命题 “ 坌x >0 ， x x-1 >0 ” 的否定是 “ 埚x>0 ， 0≤x≤1 ” . 故选 B. 变式训练 2 全称命题 “ 坌x∈R ， x 2 +2x+3≥0 ” 的否 定是 （ ） A. 坌x∈R ， x 2 +2x+3＜0 B. 坌x埸R ， x 2 +2x+3≥0 C. 埚x∈R ， x 2 +2x+3≤0 D. 埚x∈R ， x 2 +2x+3＜0 变式训练 3 （多选题） 下列命题的否定中， 是全称 量词命题且为真命题的有 （ ） A. 埚x∈R ， x 2 -x+ 1 4 <0 B. 有的矩形不是正方形 C. 埚x∈R ， x 2 +2x+2≤0 D. 坌x∈R ， x 3 +1≠0 例 3 （ 1 ） 已知命题 p ： “ 埚x∈R ， x 2 -2x+m≤0 ” 是假命题， 则实数