易错点03 不等式性质与基本不等式-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题03 不等式性质与基本不等式 不等式性质与基本不等式 忽视集合中元素的特性 忽视高次项的系数 忽视列举法中代表元素 范围 忽视空集 忽视一元二次方程的判别式 易错知识 1．不等式两边同乘以一个数时，没有考虑该数的取值范围而致错。 2．在利用不等式性质求范围时，由于多次运用不等式性质导致范围扩大而致错。 3．有关含有参数的不等式问题中，忽略参数的取值范围而致错。 4. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 易错分析 一、忽视字母的取值范围而致错 1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ） A．若，，则； B．若，则； C．若，则； D．若，，则. 【错解】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，则；故B对；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.所以选BCD。 【错因】选项B是错的，忽略了的情况。 【正解】 【答案】CD 【解析】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，当时，，故B错误；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确. 2．(多选)下列说法中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【错解】对于A中，若，当时，则，所以A不正确；对于B中，若，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，可得，再根据不等式的性质可得，所以C正确；对于D中，若，可得，由，可得，所以D正确。所以选BCD。 【错因】选项C中，没有考虑c的正负而致错。 【正解】 【答案】BD 【解析】对于A中，若，当时，则，所以A不正确；对于B中，若，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，可得，又由，根据不等式的性质，可得，所以C正确；对于D中，若，可得，由，可得，所以D正确。 二、多次运用不等式性质而致错 1、已知，，求的取值范围. 【错解】因为，，两式相加得，所以， 因为，，两式相加得，所以， 所以，即。 【错因】根据已知条件单独求出a,b各自的范围，会导致它们的范围变大。 【正解】 【答案】 【解析】令. ∴,解得,∴. ∵，∴.,又， ∴.故的取值范围为. 三、忽视不等式中高次项的系数 1．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2] 【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0. 由题意知必须满足解得－2＜m＜2 .综上知实数m的取值范围是(－2,2）．选A 【错因】没有对二次项系数2－m讨论。 【正解】 【答案】C 【解析】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0. 当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立； 当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2 .综上知实数m的取值范围是(－2,2]． 五、应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件， 1．（没有考虑等号能否取到）当时，不等式恒成立，则的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【错解】当时，由得. ，.，故选B。 【错因】令，即，而，所以不成立，即使用基本不等式求最值时，没有考虑等号问题。 【正解】 【答案】A 【解析】 当时，由得.令， 则易知在上是减函数，所以时， 则∴. 2．（没有考虑“一正”）已知递增等差数列中，，则的（ ） A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或 【错解】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，而由等差数列通项公式可知， 当且仅当时取得等号，所以的最大值为4，选A。 【错因】因为数列为递增数列,所以，由已知得，则，而错解中把当成正值。 【正解】 【答案】B 【解析】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知，由,结合基本不等式可得，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。 三、忽视一元二次不等式中两根大小而致错 1．已知集合，集合，命题：， 命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【错解】因为，，若是的充分条件，则． 因为 则，，，解得． 实数的取值范围是． 【错因】因为参数a的范围不定，所以a与2a-1的大小关系不定，故需对两根大小分类讨论。 【正解】 【答案】. 【详解】，，若是的充分条件，则． 因为 当时，，显然成立； 当时，，，，解得； 当时，，，，解得． 实数的取值范围是． 易错题通关 1．（2022·南京外国语学校）已知，则下列四个命题正确的个数是