第17讲 导数的概念及其运算-2023年高考数学一轮复习考点精讲精练+易错题型归纳（新高考专用）

第17讲 导数的概念及其运算 【基础知识网络图】 【基础知识全通关】 一：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数 ，在点 处给自变量x以增量 ，函数y相应有增量 。若极限 存在，则此极限称为 在点 处的导数，记作 或 ，此时也称 在点 处可导。 即： （或 ） 【点石成金】： ①增量 可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数 在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 , 称这个函数 为函数 在开区间内的导函数，简称导数。 函数的导数与在点 处的导数不是同一概念， 是常数，是函数 在 处的函数值，反映函数 在 附近的变化情况。 【点石成金】： 函数的导数与在点 处的导数不是同一概念， 是常数，是函数 在 处的函数值，反映函数 在 附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为 当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为 ，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即： 。 (2)导数的几何意义： 函数 在点x0的导数 是曲线 上点（ ）处的切线的斜率。 【点石成金】： ①若曲线 在点 处的导数不存在，但有切线，则切线与 轴垂直。 ② ，切线与 轴正向夹角为锐角； ，切线与 轴正向夹角为钝角； ，切线与 轴平行。 (3)曲线的切线方程 如果 在点 可导，则曲线 在点（ ）处的切线方程为： 。 考点二：常见基本函数的导数公式 （1） （C为常数）， （2） （n为有理数）， （3） ， （4） ， （5） ， （6） ， （7） ， （8） ， 考点三：函数四则运算求导法则 设 ， 均可导 （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数： （ ） 考点四：复合函数的求导法则 或 即复合函数 对自变量 的导数 ，等于已知函数 对中间变量 的导数 ，乘以中间变量 对自变量 的导数 。 【点石成金】： 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。 【考点研习一点通】 考点01：导数概念的应用 1、用导数的定义，求函数 在x=1处的导数。 【解析】∵ ∴ ∴ 。 【变式1-1】已知函数 （1）求函数在x=4处的导数. （2）求曲线 上一点 处的切线方程。 【答案】 （1） EMBED Equation.DSMT4 ， （2）由导数的几何意义知，曲线在点 处的切线斜率为 ， ∴所求切线的斜率为 。 ∴所求切线方程为 ，整理得5x+16y+8=0。 【变式1-2】求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程. 【解析】设 . EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 由f(1)=3，故切点为（1，3）， 切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2. 考点02：利用公式及运算法则求导数 2．求下列函数的导数： （1） ； （2） （3） ； （4）y=2x3―3x2+5x＋4 【解析】 （1） . （2） . （3）∵ ，∴ . （4） 【变式2-1】求下列函数的导数： （1） ； （2） （3）y=6x3―4x2+9x―6 【答案】 （1） . （2） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ∴ . （3） 【变式2-1】求下列各函数的导函数 （1） ；（2）y=x2sinx; （３）y= ； （４）y= 【解析】 （1）法一：去掉括号后求导. 法二：利用两个函数乘积的求导法则 =2x(2x－3)+(x2+1)×2 =6x2－6x+2 （2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx （３） = （4） = = 考点03：复合函数的求导问题 3．求下列函数导数. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【解析】 （1） ， . . （2） ， ∴ （3） ， . ∴ （4） ， ， ∴ . 【变式3-1】求下列函数的导数： (1) ； （2） （3）y=ln（x＋ ）； （4） 【答案】 (1)令 , , （2）令 （3） = ＝ （4） 考点04：曲线的切线方程求解问题