4.2 等比数列的前n项和（第2课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

4.2 等比数列的前n项和（第2课时） 第 4 章 数列 沪教版2020选修第一册 01等比数列前项和公式的推导 03等比数列前项和的性质 02等比数列前项和公式中基本量的求解 目录 04等比数列前项和公式的实际应用 2 1.掌握等比数列的前n项和公式.(重点） 2.掌握前n项和公式的推导方法.（重点） 3.对前n项和公式能进行简单应用.（难点） 知识回顾： 1、等比数列的定义是什么？ 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示. 2、等比数列的通项公式是什么？ 国际象棋起源于古代印度。相传 国王要奖赏国际象棋的发明者， 问他想要什么?发明者说：“请在 棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒， 第2个格子里放上2颗麦粒，第3个 格子里放上4颗麦粒，依次类推， 每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。国王是否能实现他的诺言呢？ 引入新课： 1.等比数列前项和 公式的推导 问题1：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式. 是等比数列,首项是1，公比是2，共64项. 通项公式为 问题3：回顾等差数列前项和公式，对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？ 问题2：请将发明者的要求表述成数学问题. 求这个等比数列的前64项的和，即：=？ 在等比数列中，所以). 对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的. 我们不妨把各项都用首项和公比来表示. ① 观察① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？ 设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的前项和是 根据等比数列的通项公式， ① ② ① ②得, = 即(1 =( 1) 思考 要求出，是否可以把上式两边同时除以(1 ？ (1 =( 1) 当1 时，即 时，= 当1 时，即 时， = 熟悉理解：等比数列的前n项和公式： 思考：1.运用公式求和，需注意什么问题？ 思考： 反思总结： 问题解决： 国王应给他多少麦粒？ 问题解决： 假定千粒麦子的质量为40克，据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言。 264-1这个数很大，超过了1.84x1019，总质量超过了7000亿吨， 因此，国王不可能实现他的诺言。 2.等比数列前项和 公式中基本量的求解 典例剖析 等比数列前项和公式中基本量的求解 1. 已知数列是等比数列. （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，， ，求. 练一练 解 （1）因为,所以 （2）由，，可得即, 又由，得.所以 把，， 代入,得 ＝， 整理得，解得. 练一练 2.已知等比数列的首项为 -1，前项和为，若，求公比 . 解 若，则 所以，当时，由得，得， 整理得，解得. 3.等比数列前项和 的性质 等比数列前项和的性质 4.等比数列前项和 公式的实际应用 例3 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 分析 由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算． 等比数列前项和公式的实际应用 解 设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{} ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{} ， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨），则=20, =6+1.5 = = =() 当时， 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨. 例4：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比 上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到 30000台（保留到个位）？ 解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第一年起，每年的销售量组成一个等比数列{an},其中 a1=5000, 于是得到 整理得两边取对数 ,得 用计算器算得 (年). 答: