1.3.3 第2课时 数列求和（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

第2课时　数列求和 应用一、分组转化法求和 已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋2n，求数列的前n项和Sn． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得 解得或 所以an＝或an＝－2＋3(n－1)＝3n－5． (2)当an＝时，bn＝＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝n＋＝2n＋1＋n－2； 当an＝3n－5时，bn＝(3n－5)＋2n， 此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝·n＋＝2n＋1＋n2－n－2． 分组转化法求和的常见类型 即时练1．设数列的前n项和为Sn．已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋． (1)求通项公式an； (2)求数列{|an－n－2|}的前n项和． 解析：　(1)由题意得则又当n≥2时，an＝2Sn－1＋1， 故an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，且＝3， 所以数列{an}是公比为3的等比数列，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N＋． (2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N＋，b1＝2，b2＝1． 当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3． 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3． 当n≥3时，Tn＝3＋－＝，且n＝2时符合上式， 所以Tn＝ 应用二、裂项相消法求和 已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求数列的前n项和Tn． 解析：　(1)设公差为d，d≠0，由a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列， 则＝，解得d＝1或d＝0(舍去)， an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n，故{an}的通项为an＝n． (2)∵an＝n，则Sn＝＝ ∴＝＝＝2(－)， ∴Tn＝2(1－＋－＋…＋－) ＝2(1－)＝2(－)＝2()＝． 裂项相消法求和常见的裂项技巧 (1)＝(－)； (2)＝(－)； (3)＝(－)； (4)＝＝－．　　 即时练2．已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列的前n项和Tn． 解析：　(1)因为4Sn＝(an＋1)2， 所以4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1， 当n≥2时，由4Sn＝(an＋1)2①可得，4Sn－1＝(an－1＋1)2②， ①－②并整理得，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 因为an>0，所以an＋an－1≠0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2， 所以{an}是以a1＝1为首项，以d＝2为公差的等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1； 综上所述，an＝2n－1． (2)由(1)可得bn＝＝＝， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1－＋－＋…＋－) ＝(1－)＝．综上所述，Tn＝． 应用三、错位相减法求和 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，(2n－1)an＋1＝(2n＋3)Sn(n＝1，2，3，…)． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前n项和Tn． 解析：　(1)证明：因为(2n－1)an＋1＝(2n＋3)Sn，即an＋1＝·Sn， 因为an＋1＝Sn＋1－Sn＝·Sn，可得Sn＋1＝·Sn，所以＝2·， 又a1＝1，可得＝1， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可得＝2n－1，所以Sn＝(2n－1)·2n－1， 则Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，① 2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，② ①－②得，－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n ＝1＋2×－(2n－1)·2n ＝(3－2n)·2n－3， 所以Tn＝(2n－3)·2n＋3． 错位相减法求解数列的前n项和 (1)适用条件：若数列{an}为等差数列，数列为等比数列，求解数列的前n项和Sn； (2)注意事项 ①在写出Sn和qSn的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号； ③作差后，作差部分应为n－1项的等比数列求和．　　 即时练3．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}满足4Sn＝a＋2an． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列满足b1＝a1－1，3bn＋1＝bn，且cn＝anbn，求数列的前n项和Mn． 解析：　(1)当n＝1时，4a1＝a＋2a1，因为a1>0，