1.3.3 第1课时 等比数列的前n项和（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

1．3．3　等比数列的前n项和 [学习目标]　1．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 第1课时　等比数列的前n项和 知识点一　等比数列的前n项和公式 [问题导引]　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示：　因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1．上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”． 已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项 an与公比q公式 Sn＝ Sn＝ 在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn． (1)若a1＝8，an＝，Sn＝，求n； (2)若S3＝，S6＝，求an及Sn． 解析：　(1)显然q≠1，由Sn＝，即＝， ∴q＝．又∵an＝a1qn－1，即8×＝，∴n＝6． (2)法一：由S6≠2S3知q≠1，由题意得 ②÷①，得1＋q3＝9，∴q3＝8，即q＝2． 代入①得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2， Sn＝＝2n－1－． 法二：由S3＝a1＋a2＋a3，S6＝S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝S3＋q3S3＝(1＋q3)S3． ∴1＋q3＝＝9，∴q3＝8，即q＝2． 代入＝，得a1＝，∴an＝a1qn－1＝×2n－1＝2n－2， Sn＝＝2n－1－． 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．　　 即时练1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且a2 019＋a2 020＝0，则S101等于(　　) A．3　 B．303　　　 C．－3　　　 D．－303 A　[设数列{an}的公比为q，由a2 019＋a2 020＝0可得q＝－1，故S101＝a101＝a1＝3．] 即时练2．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn．已知S3＝，S6＝，则a8＝________． 解析：　设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则解得则a8＝a1q7＝×27＝32． 答案：　32 即时练3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． 解析：　因为在数列{an}中a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．因为Sn＝126，所以＝126，即2n＋1＝128，解得n＝6． 答案：　6 知识点二　等比数列前n项和的性质 1．等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q． 2．若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0)． 3．若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N＋)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)⇔数列{an}为等比数列． (1)已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且S4＝3，S12－S8＝12，则S8＝(　　) A．－3 B．9 C．－3或9 D．－3或6 (2)设{an}是等比数列，公比为3，前80项之和为32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝(　　) A．16 B．24 C．20 D．28 (3)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn．若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________． 解析：　(1)由等比数列的前n项和的性质，得(S8－S4)2＝S4(S12－S8)＝3×12＝36， 所以S8－S4＝±6，所以S8＝±6＋3＝－3或9． 设等比数列{an}的公比为q． 又因为S8＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＝(1＋q4)S4，S4>0， 所以S8>0，所以S8＝9． (2)设a2＋a4＋a6＋…＋a80＝S，∵{an}是公比为3的等比数列， ∴根据性质1，得＝＝3，∴a1＋a3＋…＋a79＝S，∴S＋S＝32，解得S＝24． (3)设等比数列{an}的公比为q，由题意得q