1.3.2 等比数列与指数函数（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

1．3．2　等比数列与指数函数 [学习目标]　1． 体会等比数列与指数函数的关系．2．利用等比数列的性质解决一些简单问题． 知识点　等比数列的单调性 [问题导引]　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示：　由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)，当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 1． 若a1>0，q>0，c>0 (1)当q>1时，函数y＝cqx递增，数列an＝a1qn－1递增； (2)当0<q<1时，函数y＝cqx递减，数列an＝a1qn－1递减． 2． 若a1<0，q>0，c<0 (1)当q>1时，函数y＝cqx递减，数列an＝a1qn－1递减； (2)当0<q<1时，函数y＝cqx递增，数列an＝a1qn－1递增． 3．当等比数列的公比q＝1时，等比数列的各项都为常数a1，图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点． 4．当等比数列的公比q<0时，该数列是摆动数列． 已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 D　[当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立； 当数列{an}是递增数列时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立； 即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件．] (1)a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a1>0，0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a1<0，0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同．　　 即时练1．若{an}为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若等比数列{an}是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1<a3<a5，但数列{an}不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件．] 即时练2．等比数列{an}为递减数列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则等于(　　) A．　　 B．　　　　 C．　　　　 D．6 A　[∵a7·a14＝a4·a17＝6，a4＋a17＝5， ∴a4与a17为方程x2－5x＋6＝0的两个根， 解得a4＝2，a17＝3或a4＝3，a17＝2， ∵an>an＋1，∴a4＝3，a17＝2， ∴q13＝＝，则＝＝＝．] 应用一、等比数列的判定与证明 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n－5an－85，n∈N＋，证明：{an－1}是等比数列． 证明：　当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85， 解得a1＝－14， ∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1， ∴6an＝5an－1＋1，an－1＝(an－1－1)， 又a1－1＝－15， ∴{an－1}是首项为－15，公比为的等比数列． 证明数列是等比数列常用的方法 (1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列； (2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列． 即时练3．已知数列{an}满足a1＝1．若2an＋1＝3an＋1，证明：{an＋1}是等比数列． 证明：　法一：因为2an＋1＝3an＋1， 所以an＋1＝an＋，又a1＝1，所以an＋1≠0， ＝＝＝＝，所以＝． 所以{an＋1}是等比数列． 法二：因为2an＋1＝3an＋1， 所以2an＋1＋2＝3an＋1＋2， 即2an＋1＋2＝3an＋3， 所以2(an＋1＋1)＝3(an＋1)， 又a1＝1，所以an＋1≠0，所以＝． 所以{an＋1}是以为公比的等比数列． 应用二、等比数列中项的设法 有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 解析：　法一：设前三个数分别为，a，aq，则·a·aq＝216， 所以a3＝216．所以a＝6． 因此前三个数为，6，6q． 由题意知第4个数为12q－6． 所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝． 故所求的四个数为9，6，4，2． 法二：设后三个数为4－d，4，4＋d， 则第一个数为(4－d)2， 由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得