1.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

第2课时　等差数列前n项和的性质 应用一、等差数列前n项和性质的应用 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2n＝6，S3n＝12，则Sn的值为(　　) A．2　　 B．0　　　　 C．3　　　　 D．4 (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，若－＝100，则d的值为(　　) A．1 B． C． D． (3)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：　(1)因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，故有2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，即2(6－Sn)＝Sn＋(12－6)， 解得Sn＝2．故选A． (2)根据Sn＝，得－＝＝＝100，则d＝1． (3)由题知S偶－S奇＝5d， ∴d＝＝3． 答案：　(1)A　(2)A　(3)C 等差数列的前n项和的常用性质 (1)等差数列的依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列； (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列{}为等差数列； (3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝．　　 即时练1．一个等差数列共211项，则它的奇数项和与偶数项和之比为________． 解析：　设该数列为{an}，则等差数列{an}中共有106个奇数项，105个偶数项， 所以S奇＝，S偶＝． 又a1＋a211＝a2＋a210， 所以S奇∶S偶＝106∶105． 答案：　106∶105 即时练2．一个等差数列前20项的和为75，其中奇数项的和与偶数项的和之比为1∶2，则公差d的值为________． 解析：　依题意，前20项中，奇数项的和S奇＝×75＝25， 偶数项的和S偶＝×75＝50， 又S偶－S奇＝10d，所以d＝＝． 答案：　 即时练3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝________． 解析：　因为{an}是等差数列， 所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列， 所以2(S6－S3)＝S3＋S9－S6， 即2(S6＋12)＝－12＋45－S6，解得S6＝3． 又2(S9－S6)＝S6－S3＋S12－S9， 即2×(45－3)＝3＋12＋S12－45，解得S12＝114． 答案：　114 应用二、等差数列前n项和最值问题 在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值． 解析：　法一：由S9＝S17得9a1＋d ＝17a1＋d， 又a1＝25，∴d＝－2． 则Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169， 故当n＝13时，Sn取得最大值，最大值为169． 法二：由S9＝S17得9a1＋d＝17a1＋d，又a1＝25，∴d＝－2， 则an＝25＋(－2)×(n－1)＝－2n＋27． 令an>0，则－2n＋27>0，解得n<13．5， 即数列{an}的前13项均为正数，第13项以后均为负数， 故数列{an}的前13项和最大，最大值为 S13＝13×25＋×(－2)＝169． 等差数列前n项和的最值的求法 (1)若a1>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定； 若a1<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定． (2)配方法 Sn＝n2＋(a1－)n ＝－· ＝2－·， 由二次函数的最大值、最小值知识及n∈N＋，知当n取最接近－的正整数时，Sn取得最大值或最小值．最接近－的正整数有时有一个，有时有两个． 即时练4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－37，则Sn取最小值时n的值为(　　) A．17 B．18 C．19 D．20 B　[因为an＝2n－37，当n≥19时，an>0，当n≤18时，an<0，故Sn的最小值为S18，故选B．] 即时练5．已知数列{an}中，前n项和Sn＝n2－15n，则使Sn为最小值的n是(　　) A．7 B．8 C．7或8 D．9 C　[Sn＝n2－15n＝－， ∴数列{Sn}的图象是分布在抛物线y＝(x－)2－上的横坐标为正整数的离散的点． 又抛物线开口向上，以x＝为对称轴，且＝， 所以当n＝7，8时，Sn有最小值． 故选C．] 即时练6．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(　　) A．21 B．20 C．19 D．18 B　[设等差数列{an}的公差为d，则由已知a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋