1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

1．2．3　等差数列的前n项和 [学习目标]　1．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 第1课时　等差数列的前n项和公式 知识点　等差数列的前n项和公式 [问题导引]　对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d． 提示：　倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 在等差数列{an}中： (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d． 解析：　(1)解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85． (2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5．∴a8＝39，d＝5． 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．　　 即时练1．在等差数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17； (3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2． 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81． (2)S17＝＝＝＝340． (3)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15． 又a15＝＋(15－1)d＝－，所以d＝－， 所以n＝15，d＝－． 应用一、利用数列前n项和公式判断等差数列 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由． 解析：　当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5． 数列{an}是等差数列，证明如下： 因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4， 所以数列{an}是等差数列． [变式探究] 把本例中的“Sn＝2n2－3n”改为“Sn＝2n2－3n－1”，如何求解？ 解析：　∵Sn＝2n2－3n－1，① 当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2， 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，② ①－②得an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5， 经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立， 故an＝ 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列． 由Sn求通项公式an的步骤 (1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1． (2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1． (3)验证a1与an的关系 ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1， ②若a1不适合an，则an＝ 即时练2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 解析：　当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n． 又a1＝1不满足an＝2n， ∴数列{an}的通项公式是an＝ ∵a2－a1＝4－1＝3≠2，∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列． 应用二、求{|an|}的前n项和 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，满足a1＋a2＝10，S5＝40． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn． 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10， S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8， 所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2． (2)令cn＝13－an＝11－2n， bn＝|cn|＝|11－2n|＝ 设数列{cn}的前n项和为Qn， 则Qn＝－n2＋10n． 当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n． 当