1.2.2 等差数列与一次函数（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版新学案】同步导学（湘教版2019）

1．2．2　等差数列与一次函数 [学习目标]　1．体会等差数列与一元一次函数的关系．2．掌握等差数列的判断与证明方法．3．能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用． 知识点　等差数列与一次函数的关系 [问题导引]　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示：　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，记为d＝(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列． 1．等差数列的通项公式与一次函数的关系 对于一般的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d)， (1)当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)； (2)当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线，等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成． 2．等差数列的单调性 等差数列的公差为d， (1)当d>0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右上升，等差数列递增． (2)当d<0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右下降，等差数列递减． (3)当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列为常数列． 角度一　等差数列的函数性质 已知数列{an}是等差数列，且an＝an2＋n(n∈N＋)，则实数a＝________． 解析：　∵{an}是等差数列，且an＝an2＋n， ∴an是关于n的一次函数，∴a＝0． 答案：　0 熟练掌握等差数列是关于n的一次函数这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列．　　 即时练1．等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　) A．第7项　　　　　 B．第8项 C．第9项 D．第10项 B　[∵a1＝20，d＝－3， ∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n， ∴a7＝2>0，a8＝－1<0． ∴数列中第一个负数项是第8项．] 角度二　等差数列的判定与证明 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝． (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an． 解析：　(1)数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝， ∴＝＝＋， ∴－＝，即是首项为＝，公差为d＝的等差数列． (2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝，n∈N＋． 判断等差数列的方法 (1)定义法 an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋)⇔数列{an}是等差数列． (2)等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔数列{an}为等差数列． (3)通项公式法 数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．　　 即时练2．若a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝． (1)试证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)证明：bn＋1－bn＝－ ＝－＝－＝＝． 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n． ∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2，n∈N＋． 即时练3．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝． (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解析：　(1)证明：∵－＝＝， ∴bn＋1－bn＝，又b1＝＝1， ∴{bn}是首项为1，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝n＋， ∴an－1＝，∴an＝． 等差数列的性质及应用 性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋) 性质2 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an 性质3 若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d 性质4 若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列 性质5 若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列