1.2.2 等差数列与一次函数(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

1.2.2　 等差数列与一次函数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解等差数列的通项公式就是一个定义域为正整数的一次函数. 2.通过函数的引入增强运用等差数列公式解决问题的能力. 3.会用一次函数的知识解决等差数列的相关问题.能运用等差数列的性质解决有关问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.等差数列的单调性与图象 对于一般的等差数列{an},其通项公式为an=a1+(n-1)d,将其中的正整数自变量n换成实数自变量x,得到y=a1+(x-1)d=dx+(a1-d),当d≠0时,是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d);当d=0时,y=a1(a1为常数),这两种情形的函数图象都是直线,等差数列的 图象由这条直线上横坐标为正整数n的 孤立点______组成. (1)当d>0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右上升,等差数列{an}递增(如图甲); (n,an) (2)当d<0时,直线y=dx+(a1-d)从左至右下降,等差数列{an}递减(如图乙); (3)当d=0时,y=a1为水平方向的直线,数列为常数列(如图丙). 2.等差数列通项公式的变形及推广 (1)an=dn+(a1-d)(n∈N+); (2)an=am+(n-m)d(m,n∈N+); (3)d=(m,n∈N+,且m≠n). 3.等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q, 则am+an=________. ①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,am+an=2ak. ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的____,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=…. (2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为_____数列. ap+aq 和 等差 (3)若{an}是公差为d的等差数列,则 ①{c+an}(c为任一常数)是公差为_____的等差数列; ②{can}(c为任一常数)是公差为_____的等差数列; ③{an+an+k}(k为常数,k∈N+)是公差为_____的等差数列. (4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为_________的等差数列. (5){an}的公差为d,则d>0⇔{an}为_____数列;d<0⇔{an}为_____数列; d=0⇔{an}为常数列. d cd 2d pd1+qd2 递增 递减 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)等差数列的单调性与公差有关. ( 　) (2)等差数列{an}中,必有a10=a1+a9. ( 　) (3)若数列a1,a2,a3,a4,…是等差数列,则数列a1,a3,a5,…也是等差数列. ( 　) (4)若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6,…都是公差为d的等差数列, 则a1,a2,a3,…也是等差数列. ( 　) (5)若数列{an}为等差数列,则an+1=an-1+2d,n>1,且n∈N+. ( 　) √ × √ × √ 2.在等差数列{an}中,a10=18,a2=2,则公差d= (　　) A.-1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.6 √ 3.在等差数列{an}中,若a2+a8=-3,a4=-2,则a6=__________.  -1 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　等差数列与一次函数的关系 [例1]　已知等差数列的通项公式为an=-2n+7. (1)求首项a1和公差d; 解:因为等差数列的通项公式为an=-2n+7,所以首项a1=-2×1+7=5,公差d=an+1-an=-2(n+1)+7-(-2n+7)=-2. (2)画出数列{an}的图象; 解:数列{an}的图象,如图所示. (3)判断数列{an}的单调性. 解:由n∈N+,an=-2n+7,得an+1-an=-2(n+1)+7-(-2n+7)=-2<0, 因此an+1<an,所以数列{an}是递减数列. 　　根据等差数列{an}的通项公式an=pn+q=q+p+(n-1)p=dn+(a1-d),可知首项a1=q+p,公差d=p.当公差d>0时,数列{an}是递增数列,当d<0时,数列{an}是递减数列. |思|维|建|模| 针对训练 1.若数列{an}满足a1=15,3an+1=3an-2(n∈N+),求使ak·ak+1<0的k值. 解:由3an+1=3an-2,得an+1-an=-,又a1=15,∴{an}是首项为15, 公差为-的等差数列,∴an=a1+(n-1)d=15+(n-1)×=-n+. 令an=0,解得n==23.5,∵d=-,数列{an}是递减数列, ∴a23>0,a24<0,∴k=23. 题型(二)　等差数列的性质 [例2]　在公差为d的等差数列{an}中, (1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13; 解:法一:通项公式法　化成a1和d的方程如下: (a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48, 即4(a1+12d)=48. ∴4a13=48.∴a13=12. 法二:性质法　根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,及a2+a24=a3+a23=2a13, 得4a13=48,∴a13=12. (2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d. 解:法一:通项公式法　化成a1和d的方程如下: 解得或 ∴d=3或-3. 法二:性质法　由a2+a3+a4+a5=34及a3+a4=a2+a5,得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17. ∴ 解得或 ∴d===3或d===-3. 等差数列运算的两种常用思路 (1)基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量. (2)巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar. |思|维|建|模| 针对训练 2.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S5=S10,a5=1,则a1= (　　) A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.- 解析:由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0,则a8=0,则等差数列{an}的公差d==-,故a1=a5-4d=1-4×=. √ 3.[多选]已知递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 (　　) A.a1+a101>0 B.a2+a100=0 C.a3+a100≤0 D.a51=0 解析:设等差数列{an}的公差为d,易知d>0,∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51, ∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0, ∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B、D正确,A错误; 又∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+ (a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误. √ √ [例3]　已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列. 题型(三)　等差数列的设法与求解 解:设四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d, 则 又因为是递增数列,所以d>0, 所以解得a=±,d=, 故此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1. 等差数列项的常见设法 (1)通项法:设数列的通项公式,即设an=a1+(n-1)d. (2)对称项设法:当等差数列{an}的项数为奇数时,可设中间一项为a,再以公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;当等差数列{an}的项数为偶数时,可设中间两项分别为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….对称项设法的优点是,若有n个数构成等差数列,利用对称项设出这个数列,则其各项和为na. |思|维|建|模| 4.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231, 求数列{an}的通项公式. 针对训练 解:法一　根据题意,设等差数列{an}的前三项分别为a1,a1+d,a1+2d, 则 即 解得或因为数列{an}为递增数列,所以 从而等差数列{an}的通项公式为an=4n-1. 法二　由于数列{an}为等差数列,所以可设前三项分别为a2-d,a2,a2+d, 由题意得 即解得或 由于数列{an}为递增数列,所以 从而an=4n-1. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于 (　　) A.3　　　　B.-6　　　　C.4　　　　D.-3 解析:由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d==-6. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知等差数列{an}递增且满足a1+ a8=6,则a6的取值范围是 (　　) A.(-∞,3) B.(3,6) C.(3,+∞) D.(6,+∞) 解析:因为{an}为等差数列,设公差为d,因为数列{an}递增,所以d>0,所以a1+ a8= a3+ a6=2a6-3d=6,则2a6-6=3d>0,解得a6>3,故选C. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为 (　　) A.12　　　　B.8　　　　C.6　　　　D.4 解析:由等差数列的性质得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=4a8=32, ∴a8=8.又d≠0,故m=8. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知在等差数列{an}中,a2+a5=a4+11且a2+a4=a6+2,则数列{an}的通项公式为 (　　) A.an=3n+2　　　B.an=3n-1　　　C.an=3n+5　　　D.an=2n+3 解析:设等差数列{an}的公差为d,由题意a3=a1+2d=a2+a5-a4=11,故a2+a4=2a3=22,即a6+2=22,解得a6=20,故等差数列{an}的公差d==3,通项公式为an=11+3(n-3)=3n+2.故选A. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知数列{an}的通项公式为an=a+bn(a,b为常数),则下列说法正确的是 (　　) A.若a2>a1,则a3>a1 B.若a2>a1,则a3>a2 C.若a3>a1,则a2>a1 D.若a2>a1,则a1+a2>a1 √ √ √ 解析:由an=a+bn,知an+1=a+b(n+1),所以an+1-an=b,故数列{an}是等差数列, 且公差为b.由等差数列的单调性可得,若a2>a1,则公差b>0,所以数列{an}是 递增数列,故A、B一定成立;若a3>a1,则a3-a1=2b>0,所以数列{an}是递增数列,所以a2>a1,故C一定成立;当a2<0时,a1+a2>a1不成立,故D不一定成立. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在1和11之间插入m个数,使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中 第1个数为a,第m个数为b,则+的最小值是(　　) A.　　　　B.2　　　　C.3　　　　D. √ 解析:由题可知,a+b=1+11=12,1<a<b<11,所以有+= =+++≥+2=3,当且仅当=,即b=10,a=2时 等号成立,此时a,b满足1<a<b<11,m=9,所以+的最小值是3. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设无穷等差数列{an}的前n项积为Tn.若a1<0,则“Tn有最大值”是“公差d≥0”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析:对于无穷等差数列{an},由于a1<0,当d>0时,若数列中小于0的项为偶数项,且数列中无0时,显然Tn没有最大值,当d=0时,数列为常数列,当a1不等于-1时,Tn=,无最大值,所以公差d≥0不能推出Tn有最大值,当d<0时,an<0,所以|Tn|趋于正无穷,{Tn}为正负间隔的摆动数列,没有最大值,所以当Tn有最大值时,只能d≥0,综上,“Tn有最大值”是“公差d≥0”的充分不必要条件. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)各项都为正数的等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,则a5+a9=______. 8 解析:因为{an}为各项都为正数的等差数列,又2a3-+2a11=0, 所以4a7-=0,即a7=4,所以a5+a9=2a7=8. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)在数列{an}中,a1=2,a8=16,已知该数列的通项公式是关于n的一次函数,则a2 026=__________. 4 052 解析:因为数列{an}的通项公式是关于n的一次函数,所以{an}是等差数列. 设数列{an}的公差为d,则a8=a1+7d=2+7d=16,解得d=2,所以an=2+2(n-1)=2n,则a2 026=2×2 026=4 052. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=__________. 105 解析:∵a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5. 设公差为d>0,则a1a2a3=(a2-d)a2(a2+d)=5(25-d2)=80. 又d为正数,∴d=3. ∴a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3×(5+30)=105. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知两个等差数列{an}:5,8,11,…与{bn}:3,7,11,…,它们的公共项组成数列{cn},则数列{cn}的通项公式cn=_________;若数列{an}和{bn}的项数均为100,则{cn}的项数是_________. 12n-1 25 解析:由于数列{an}和{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列, 且公差为3×4=12.又c1=11,故cn=11+12(n-1)=12n-1.又a100=302, b100=399,由解得1≤n≤25.25,故{cn}的 项数为25. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知四个数成递增的等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,则这四个数分别为________________. -2,0,2,4 解析:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1. 又四个数成递增的等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知{an}为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24. (1)求a20的值;(5分) 解:因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24,所以a3=6,a4=8,则公差d=2, 所以a20=a3+17d=40. (2)若bn=an-,试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.(5分) 解:由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n,所以bn=×2n-=3n-. 由bn>0,即3n->0,得n>, 所以数列{bn}从第7项开始大于0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2;(6分) 解:数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列. 因为a1=3,d=-5, 所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n. 数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…, 所以b1=a3=-7,b2=a7=-27. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求{bn}的通项公式;(6分) 解:设{an}中的第m项是{bn}中的第n项, 即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1, 所以bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n, 即{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N+). (3){bn}中的第506项是{an}中的第几项?(3分) 解:由(2)得m=4n-1=4×506-1=2 023, 即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知等差数列{an}的首项a1=16,公差d=-. (1)此等差数列中从第几项开始出现负数?(5分) 解:等差数列{an}的首项a1=16,公差d=-,则an=16-(n-1)=-n+. 由-n+<0,得n>, 即从第23项开始出现负数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当n为何值时,|an|最小?(10分) 解:由等差数列{an}的通项公式an=-n+可得|an|= =令m(n)=-n+(n≤22,n∈N+),则m(n)在n=22时取得最小值,为; 令t(n)=n-(n≥23,n∈N+), 则t(n)在n=23时取得最小值,为. 则|an|在n=22时取得最小值,为. $$